Связь между полной активной и реактивной проводимостью. Реактивная (ёмкостная проводимость)

. Конденсатор (идеальная емкость)

Аналогичный характер имеют процессы и для идеальной емкости. Здесь . Поэтому из (3) вытекает, что. Таким образом, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р=0), так как в них не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления Х L и Х С, в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными.

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью .

В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка-). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называютвольт-ампер реактивный (ВАр).

В частности для катушки индуктивности имеем: , так как.

.

Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора:

.

Резистор (идеальное активное сопротивление).

Здесь напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе , поэтому мощностьвсегда положительна, т.е. резистор потребляет активную мощность

25. Активная, реактивная и полная проводимость цепи.

При параллельном соединении элементов R , L , C (рис. 1) полная проводимость равна
(1)

где g = 1/ R – активная проводимость цепи;

b – реактивная проводимость цепи.

Реактивная проводимость цепи при этом определяется выражением
(2)

Ток в цепи определяется выражением

(3)

Ток в активной проводимости совпадает с напряжением по фазе

(4)

Ток в ёмкости определяет напряжение по фазе на 90 0

(5)

Ток в индуктивности отстаёт от напряжения по фазе на 90 0

(6)

Средняя активность мощность, расходуемая в цепи

(7)

Сдвиг фаз между напряжением U на зажимах цепи и током I в ней определяется выражениями

(8)

(9)

26. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Основные понятия, законы коммуникации.

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.

Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.

Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.

Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.

Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Законы коммутации

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и, что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

.

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа. Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при.

Активная проводимость (G ) обусловлена потерями активной мощности в диэлектриках. Ее величина зависит от:

тока утечки по изоляторам (малы, можно пренебречь);

потерь мощности на корону.

Активная проводимость приводит к потерям активной мощности в режиме холостого хода ВЛЭП. Потери мощности на корону ( кор) обусловлены ионизацией воздуха вокруг проводов. Когда напряжённость электрического поля у провода становится больше электрической прочности воздуха (21,2кВ/см), на поверхности провода образуются электрические разряды. Из-за неровностей поверхности многопроволочных проводов, загрязнений и заусениц разряды появляются вначале только в отдельных точках провода –местная корона . По мере повышения напряжённости корона распространяется на большую поверхность провода и в конечном счёте охватывает провод целиком по всей длине –общая корона .

Потери мощности на корону зависят от погодных условий. Наибольшие потери мощности на корону происходят при различных атмосферных осадках. Например, на воздушных ЛЭП напряжением 330750кВ кор при снеге повышаются на 14%, дожде – на 47%, изморози – на 107% по сравнению с потерями при хорошей погоде. Корона вызывает коррозию проводов, создаёт помехи на линиях связи и радиопомехи.

Величину потерь мощности на корону можно рассчитать по формуле:

где
коэффициент, учитывающий барометрическое давление;

U ф,U кор ф – соответственно фазные рабочее напряжение ЛЭП и напряжение, при котором возникает корона.

Начальная напряжённость (в хорошую погоду), при которой возникает общая корона рассчитывается по формуле Пика:

кВ/см

где m – коэффициент негладкости привода;

R пр – радиус провода,см ;

коэффициент, учитывающий барометрическое давление.

Для гладких цилиндрических проводов значение m = 1, для многопроволочных проводов –m = 0,820,92.

Величина δ рассчитывается по формуле:

,

где Р – давление, мм ртутного столба;

температура воздуха, 0 C.

При нормальном атмосферном давлении (760 мм рт. ст.) и температуре 20 0 C= 1. Для районов с умеренным климатом среднегодовое значениеравно 1,05.

Рабочая напряженность при нормальных условиях работы ЛЭП определяется по формулам:

для нерасщепленной фазы

кВ/см

для расщепленной фазы

, кВ/см

где U экс – среднее эксплуатационное (линейное) напряжение.

Если величина эксплуатационного напряжения неизвестна, то считают, что U экс =U ном.

Величина рабочей напряженности на фазах разная. В расчетах принимается величина наибольшей напряжённости:

E max =k расп k расщ E ,

где k расп – коэффициент, учитывающий расположение проводов на опоре;

k расщ – коэффициент, учитывающий конструкцию фазы.

Для проводов, расположенных в вершинах равностороннего треугольника или близкого к нему, k расп = 1. Для проводов, расположенных в горизонтально или вертикально,k расп = 1,05 – 1,07.

Для нерасщепленной фазы k расщ = 1. При расщепленной конструкции фазы коэффициентk расщ рассчитывается по формулам:

при n = 2

при n = 3

Напряжение, при котором возникает корона, рассчитывается по формуле:

Чтобы повысить U кор нужно снизитьE max . Для этого нужно увеличить либо радиус проводаR пр либо D ср. В первом случае эффективно расщеплять провода в фазе. УвеличениеD ср приводит к значительному изменению габаритов ЛЭП. Мероприятие малоэффективно, так какD ср находится под знаком логарифма.

Если E max >E 0 , то работа ЛЭП является неэкономичной из-за потерь мощности на корону. Согласно ПУЭ, корона на проводах отсутствует, если выполняется условие:

E max 0,9E 0 (m =0,82,= 1).

При проектировании выбор сечений проводов выполняют таким образом, чтобы короны в хорошую погоду, не было. Так как увеличение радиуса провода является основным средством снижения P кор, то установлены минимально допустимые сечения по условиям короны: при напряжении 110 кВ – 70мм 2 , при напряжении 150 кВ – 120мм 2 , при напряжении 220 кВ – 240мм 2 .

Величина погонной активной проводимости рассчитывается по формуле:

, См/км.

Активная проводимость участка сети находится следующим образом:

При расчете установившихся режимов сетей напряжением до 220кВ активная проводимость не учитывается – увеличение радиуса провода снижает потери мощности на корону практически до нуля. При U ном 330кВ увеличение радиуса провода приводит к значительному удорожанию ЛЭП. Поэтому в таких сетях расщепляют фазу и учитывают в расчетах активную проводимость.

В кабельных ЛЭП расчет активной проводимости выполняется по тем же формулам, что и для воздушной ЛЭП. Природа потерь активной мощности иная.

В кабельных линиях P вызываются явлениями, происходящими в кабеле за счет тока абсорбции. Для КЛЭП диэлектрические потери указываются заводом – изготовителем. Диэлектрические потери в КЛЭП учитываются при U35 кВ.

Реактивная (ёмкостная проводимость)

Реактивная проводимость обусловлена наличием емкости между фазами и между фазами и землей, так как любую пару проводов можно рассматривать как конденсатор.

Для ВЛЭП величина погонной реактивной проводимости рассчитывается по формулам:

для нерасщепленных проводов

, См/км;

для расщеплённых проводов

Расщепление увеличивает b 0 на 2133%.

Для КЛЭП величина погонной проводимости чаще рассчитывается по формуле:

b 0 =  C 0 .

Величина емкости C 0 приводится в справочной литературе для различных марок кабеля.

Реактивная проводимость участка сети рассчитывается по формуле:

В = b 0 l .

У воздушных ЛЭП значение b 0 значительно меньше, чем у кабельных ЛЭП, мало, так как D ср ВЛЭП >> D ср КЛЭП.

Под действием напряжения в проводимостях протекает ёмкостный ток (ток смещения или зарядный ток):

I c =В U ф.

Величина этого тока определяет потери реактивной мощности в реактивной проводимости или зарядную мощность ЛЭП:

В районных сетях зарядные токи соизмеримы с рабочими токами. При U ном = 110 кВ, величина Q с составляет около 10% от передаваемой активной мощности, при U ном = 220 кВ – Q с ≈ 30% Р . Поэтому ее нужно учитывать в расчетах. В сети номинальным напряжением до 35 кВ величиной Q с можно пренебречь.

Схема замещения ЛЭП

Итак, ЛЭП характеризуется активным сопротивлением R л, реактивным сопротивлением линии х л, активной проводимостью G л, реактивной проводимостью В л. В расчетах ЛЭП может быть представлена симметричными П- и Т- образными схемами (рис. 4.6).

П – образная схема применяется чаще.

В зависимости от класса напряжения теми или иными параметрами полной схемы замещения можно пренебречь (см. рис. 4.7):

ВЛЭП напряжением до 220 кВ (Р кор  0);

ВЛЭП напряжением до 35кВ (Р кор  0, Q c  0);

КЛЭП напряжением 35кВ (реактивное сопротивление  0)

КЛЭП напряжением 20 кВ (реактивное сопротивление  0, диэлектрические потери  0);

КЛЭП напряжением до 10 кВ (реактивное сопротивление  0, диэлектрические потери  0, Q c  0).

Ответ: R=r o ·l, где r o – погонное активное сопротивление (Ом/км). Активное сопротивление воздушных и кабельных линий, определяется материалом токоведущих проводников и их сечения. В какой-то степени оно зависит от температуры проводников и частоты протекающего по ним переменного тока. Однако это влияние мало, и при расчетах электрических сетей его обычно не учитывают. Поэтому значения сопротивления r 0 для каждой марки провода или кабеля, как правило, принимают по таблицам, соответствующим передаче постоянного тока и температуре +20ºС. r 0 t = r 0 20 ·(1+α(t-20)), где α-температурный коэффициент; r 0 20 –сопротивление при 20 ºС. При оценочных расчетах для проводников из цветных металлов активное сопротивление может быть определено по формуле: r 0 =ρ/F, где ρ-удельное сопротивление(Ом·мм 2 /км), F-сечение проводника(мм 2).

G=g 0 ·l, где g 0 - удельная активная проводимость (См/км). Проводимость, обусловленная потерями на корону, величина сильно переменная и зависит от влажности воздуха и других метеорологических условий. Усредненное значение активной проводимости за год получают через средние потери на корону ΔP к: ; , где ΔP куд - удельные среднегодовые потери на корону (кВт/км).

Потери мощности на корону учитывают для ВЛ с Uном 330кВ и выше. В ВЛ 110-220кВ эти потери можно не учитывать, т.к. ПУЭ установлены минимальные сечения проводов, для снижения ΔP к до приемлемых уровней. Для ВЛ 110кВ – АС 70/11, ВЛ 220кВ – АС 240/32.

Наиболее радикальным средством снижения потерь мощности на корону является увеличение диаметра провода. X=x 0 ·l, где x 0 , – погонное индуктивное сопротивление (Ом/км).

Индуктивное сопротивление обусловлено магнитным полем, возникающем вокруг и внутри проводов и жил кабелей, которое наводит в каждом проводнике электродвижущую силу самоиндукции. Индуктивное сопротивление зависит от взаимного расположения проводников, их диаметра и магнитной проницаемости и частоты переменного тока. Для воздушных линий с алюминиевыми и сталеалюминевыми проводами сопротивление на 1 км рассчитывается: x 0 =0,144·lg(2·D ср /d)+0,0156, где Dср - среднегеометрическое расстояние между проводами фаз, мм, d – диаметр провода, мм.

D ср зависит от вида расположения опор и U ном D ср = , где D А B , D BC , D CA - расстояние между проводами соответствующих фаз.

Для воздушных линий значение x 0 приводятся в справочной таблице в зависимости от D ср или напряжения и марки провода. На индуктивное сопротивление кабельных линий оказывают влияние конструктивные особенности кабелей. При расчетах пользуются заводскими данными об x 0 , приводимыми в справочнике. Реактивная проводимость линии обусловлена емкостями между проводами разных фаз и емкостью провод-земля. Ее определяют по формуле: , B=b 0 ·l, где b 0 - удельная реактивная (емкостная) проводимость, Ом/км. Для воздушных линий удельная емкостная прово­димость может быть найдена как или определена по справочным таблицам в зависимо­сти от марки провода и среднегеометрического рассто­яния между проводами или ном. напряже­ния. Ёмкостная проводимость кабельных линий зависит от конструкции кабеля и указывается заводом-изгото­вителем, но для ориентировочных расчетов она может быть оценена по формуле. Очевидно, что величи­на b 0 для кабельных линий значительно больше, чем для воздушных из-за меньших значений Dср.

Рассмотрим известное выражение для полной комплексной мощности

Таким образом, использование понятия о сопряженном комплексе тока позволяет реализовать аргумент полной комплексной мощности в виде разности фаз между синусоидами напряжения и тока (), а также установить корректную математическую связь между полной комплексной мощностью и ее составляющими (). Проведем преобразование с сопряженными комплексами. В соответствии с (13) получим

В таком случае будем иметь

Учтем, что

То есть для любого параметра произведение комплекса на сопряженный комплекс равно квадрату его модуля.

В соответствии с (27), (28) и (8) рассмотрим полную комплексную мощность

Треугольники мощностей, соответствующие выражению (29), приведены на рис. 9, 10, 11, которые иллюстрируют случаи:

– если , в этом случае , (рис. 9). Т. е. реактивная мощность всей цепи является положительной величиной и во внешней цепи происходит обмен циркулирующей энергией исключительно между магнитным полем L -элемента и источником питания, а перезаряд С -элемента полностью осуществляется за счёт энергии магнитного поля L - элемента;

– если , в этом случае , (рис. 10). Т. е. реактивная мощность всей цепи является отрицательной величиной и во внешней цепи происходит обмен циркулирующей энергией исключительно между электрическим полем С -элемента и источником питания. Энергия в магнитное поле L -элемента полностью поступает при разряде С -элемента;

– наконец, если , в этом случае , а (рис. 11). Т. е. обмена энергией между источником питания и цепью не происходит. Вся энергия, поступающая от источника, безвозвратно потребляется цепью. При этом полная мощность на зажимах цепи чисто активная. Внутри цепи происходит циркулирующий обмен энергией одинаковой интенсивности между полями L , C -элементов.

Расчёт параметров режима работы цепи, построение векторной диаграммы, треугольников проводимостей и мощностей можно провести, не прибегая к комплексным числам. Расчёт проводят в действующих значениях параметров режима и в модулях параметров цепи. При этом возможны две методики расчёта:

· с использованием понятия об активной и реактивной составляющих тока в каждой ветви;

· с использованием понятия о полной проводимости цепи, ветви и составляющих этих проводимостей.

По первой методике, по известным параметрам цепи определяют полные сопротивления ветвей

Затем определяют полные токи в каждой ветви и составляющие этих токов

После чего определяют полный (входной) ток цепи

и его фазовый угол

Рассчитывают мощности на ветвях

мощности на всей схеме

Используя полученные результаты, определяют проводимости ветвей и всей схемы

Наконец, по полученным результатам с учётом знаков φ 1 , φ 2 и φ строят векторные диаграммы токов, проводимостей и мощностей.

По второй методике, по известным параметрам цепи определяют проводимости ветвей и их фазовые углы

Затем определяют полную проводимость цепи и ее фазовый угол

После чего рассчитывают токи в ветвях и входной ток

Определяют мощности ветвей и всей цепи

И, наконец, зная величину и их знаки, строят векторные диаграммы токов, проводимостей и мощностей.

Иного характера расчёты проводят, если известны некоторые параметры режима работы цепи, и требуется определить параметры схемы замещения и построить векторную диаграмму. Такие расчёты проводят после экспериментального исследования схемы.

Например, дана схема замещения цепи (рис. 12). Путём эксперимента измерили следующие параметры режима работы этой цепи: P – активную мощность всей цепи; U – напряжение на зажимах цепи; I – входной ток; I 1 и I 2 – токи ветвей; угол сдвига фаз между синусоидами напряжения и тока (с учетом его знака). Необходимо определить параметры схемы и построить векторную диаграмму. Проводят следующие расчёты:

1. Определяют эквивалентные параметры всей цепи (знак общей реактивной проводимости и общего реактивного сопротивления определяется знаком измеренного угла )

2. Определяют эквивалентные параметры каждой ветви

3. Определяют параметры элементов ветвей схемы

4. Рассчитывают остальные параметры режима работы схемы

5. Строят векторные диаграммы токов, проводимостей, мощностей.

В данной цепи, как и в цепи с последовательным соединением R , L , C- элементов, возможен резонансный режим, который носит название резонанса токов . При резонансе токов в цепи, содержащей L и С- элементы, включённые в параллельные ветви, синусоиды входного тока I и напряжения , приложенного к зажимам цепи, совпадают по фазе, т. е. . Особенности этого режима уже рассмотрены (рис. 4, 8, 11). Определим резонансную частоту в цепи (рис. 1). Если для резонанса токов то в соответствии с (11)

Выражение (34) определяет условие резонанса токов для конкретной цепи. Если катушка индуктивности и конденсатор включены в параллельные ветви, то модули реактивных проводимостей ветвей должны быть равны.

Подставив эти выражения в (34) и решив уравнение относительно , получим

Выражение (35) показывает, что резонансная частота определяется величиной четырёх параметров цепи L , C , R 1 , R 2 . Поэтому резонансного режима можно добиться, варьируя каждый из указанных параметров.

Проанализируем зависимости параметров контура и параметров режима его работы от изменения C на примере схемы рис. 12. Считаем, что величина ёмкости С изменяется от 0 до , а цепь подключена к идеальному источнику синусоидальной ЭДС.

В курсе общей физики для расчета электрических цепей используют, в основном, законы Ома и Кирхгофа, в которые входят напряжения, токи и сопротивления. Однако для расчета сложных электрических цепей, и в особенности цепей переменного тока, целесообразно вместо сопротивления использовать проводимость.

Проводимость в цепи постоянного тока g - величина, обратная сопротивлению

Единицей измерения проводимости в СИ является сименс (в честь немецкого электротехника XIX в. Э. В. Сименса).

1 Сим - это проводимость проводника сопротивлением 1 Ом.

В цепях переменного тока, как известно, существует три типа сопротивлений: активное R, реактивное и полное г. По аналогии с этим введено и три типа проводимостей: активная g, реактивная b и полная у. Однако только полная проводимость у является величиной, обратной полному сопротивлению :

Для введения активной g и реактивной b проводимостей рассмотрим цепь переменного тока из последовательно соединенных активного R и индуктивного сопротивлений (рис. 1-25, а). Построим для нее векторную диаграмму (рис. 1-25, б). Ток в цепи разложим на активную и реактивную составляющие и от полученного треугольника токов перейдем к треугольнику сопротивлений (рис. 1-25, в). Из последнего имеем:

Из векторной диаграммы (см. рис. 1-25, б) с учетом формулы (1.30) имеем:

где активная проводимость,

где реактивная проводимость.

Теперь установим взаимосвязь между проводимостями. Для рассматриваемой цепи имеем:

Подставив значения соответственно из соотношений (1.31) и (1.32), получим:

где полная проводимость цепи.

По аналогии с треугольником сопротивлений (рис. 1-25, в) строим треугольник проводимостей (рис. 1-25, г). По аналогии с индуктивным и емкостным сопротивлениями различают индуктивную и емкостную проводимости.

В случае разветвленной цепи (рис. 1-26, а) схему легко преобразовать в так называемую эквивалентную схему (рис. 1-26, б), в которой две ветви заменены одной с соответствующими эквивалентными активным и

реактивным сопротивлениями. Расчет последних сопротивлении, как и других параметров схемы, проще с использованием проводимостей. Установим основные закономерности для проводимостей в разветвленной цепи.

Выразим общий ток через его составляющие или эквивалентные проводимости:

В свою очередь, активная составляющая общего тока равна сумме активных составляющих токов ветвей:

т. е. эквивалентная активная проводимость разветвления равна арифметической сумме активных проводимостей ветвей.

Так как реактивные составляющие ветвей рассматриваемой цепи находятся в противофазе, то для реактивной составляющей общего тока имеем:

т. е. эквивалентная реактивная проводимость разветвления равна алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельных ветвей, при этом берется со знаком «плюс», а - со знаком «минус».