Какое действие первое сложение или умножение. Порядок выполнения действий, правила, примеры

Когда мы работаем с различными выражениями, включающими в себя цифры, буквы и переменные, нам приходится выполнять большое количество арифметических действий. Когда мы делаем преобразование или вычисляем значение, очень важно соблюдать правильную очередность этих действий. Иначе говоря, арифметические действия имеют свой особый порядок выполнения.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В этой статье мы расскажем, какие действия надо делать в первую очередь, а какие после. Для начала разберем несколько простых выражений, в которых есть только переменные или числовые значения, а также знаки деления, умножения, вычитания и сложения. Потом возьмем примеры со скобками и рассмотрим, в каком порядке следует вычислять их. В третьей части мы приведем нужный порядок преобразований и вычислений в тех примерах, которые включают в себя знаки корней, степеней и других функций.

Определение 1

В случае выражений без скобок порядок действий определяется однозначно:

  1. Все действия выполняются слева направо.
  2. В первую очередь мы выполняем деление и умножение, во вторую – вычитание и сложение.

Смысл этих правил легко уяснить. Традиционный порядок записи слева направо определяет основную последовательность вычислений, а необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Возьмем для наглядности несколько задач. Мы использовали только самые простые числовые выражения, чтобы все вычисления можно было провести в уме. Так можно быстрее запомнить нужный порядок и быстро проверить результаты.

Пример 1

Условие: вычислите, сколько будет 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашем выражении скобок нет, умножение и деление также отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычитаем три из семи, затем прибавляем к остатку шесть и в итоге получаем десять. Вот запись всего решения:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Ответ: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Условие: в каком порядке нужно выполнять вычисления в выражении 6: 2 · 8: 3 ?

Решение

Чтобы дать ответ на этот вопрос, перечитаем правило для выражений без скобок, сформулированное нами до этого. У нас здесь есть только умножение и деление, значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Ответ: сначала выполняем деление шести на два, результат умножаем на восемь и получившееся в итоге число делим на три.

Пример 3

Условие: подсчитайте, сколько будет 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 .

Решение

Сначала определим верный порядок действий, поскольку у нас здесь есть все основные виды арифметических операций – сложение, вычитание, умножение, деление. Первым делом нам надо разделить и умножить. Эти действия не имеют приоритета друг перед другом, поэтому выполняем их в написанном порядке справа налево. То есть 5 надо умножить на 6 и получить 30 , потом 30 разделить на 3 и получить 10 . После этого делим 4 на 2 , это 2 . Подставим найденные значения в исходное выражение:

17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Здесь уже нет ни деления, ни умножения, поэтому делаем оставшиеся вычисления по порядку и получаем ответ:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Ответ: 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7 .

Пока порядок выполнения действий не заучен твердо, можно ставить над знаками арифметических действий цифры, означающие порядок вычисления. Например, для задачи выше мы могли бы записать так:

Если у нас есть буквенные выражения, то с ними мы поступаем точно так же: сначала умножаем и делим, затем складываем и вычитаем.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в справочниках все арифметические действия делят на действия первой и второй ступени. Сформулируем нужное определение.

К действиям первой ступени относятся вычитание и сложение, второй – умножение и деление.

Зная эти названия, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий так:

Определение 2

В выражении, в котором нет скобок, сначала надо выполнить действия второй ступени в направлении слева направо, затем действия первой ступени (в том же направлении).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, который сообщает нам нужный порядок выполнения действий. В таком случае нужное правило можно записать так:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то первым делом выполняется действие в них, после чего мы умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем по направлению слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, его можно рассматривать в качестве составной части основного выражения. При подсчете значения выражения в скобках мы сохраняем все тот же известный нам порядок действий. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример 4

Условие: вычислите, сколько будет 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 .

Решение

В данном выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Первым делом вычислим, сколько будет 7 − 2 · 3 . Здесь нам надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7 − 2 · 3 = 7 − 6 = 1

Считаем результат во вторых скобках. Там у нас всего одно действие: 6 − 4 = 2 .

Теперь нам нужно подставить получившиеся значения в первоначальное выражение:

5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 5 + 1 · 2: 2

Начнем с умножения и деления, потом выполним вычитание и получим:

5 + 1 · 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

На этом вычисления можно закончить.

Ответ: 5 + (7 − 2 · 3) · (6 − 4) : 2 = 6 .

Не пугайтесь, если в условии у нас содержится выражение, в котором одни скобки заключают в себе другие. Нам надо только применять правило выше последовательно по отношению ко всем выражениям в скобках. Возьмем такую задачу.

Пример 5

Условие: вычислите, сколько будет 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) .

Решение

У нас есть скобки в скобках. Начинаем с 3 + 1 + 4 · (2 + 3) , а именно с 2 + 3 . Это будет 5 . Значение надо будет подставить в выражение и подсчитать, что 3 + 1 + 4 · 5 . Мы помним, что сначала надо умножить, а потом сложить: 3 + 1 + 4 · 5 = 3 + 1 + 20 = 24 . Подставив найденные значения в исходное выражение, вычислим ответ: 4 + 24 = 28 .

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 + 3)) = 28 .

Иначе говоря, при вычислении значения выражения, включающего скобки в скобках, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам надо найти, сколько будет (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1 . Начинаем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , исходное выражение можно записать как (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Снова обращаемся к внутренним скобкам: 4 + 1 = 5 . Мы пришли к выражению (4 + 5 − 1) − 1 . Считаем 4 + 5 − 1 = 8 и в итоге получаем разность 8 - 1 , результатом которой будет 7 .

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас в условии стоит выражение со степенью, корнем, логарифмом или тригонометрической функцией (синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом) или иными функциями, то первым делом мы вычисляем значение функции. После этого мы действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Иначе говоря, функции по степени важности приравниваются к выражению, заключенному в скобки.

Разберем пример такого вычисления.

Пример 6

Условие: найдите, сколько будет (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 .

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которого надо найти в первую очередь. Считаем: 6 2 = 36 . Теперь подставим результат в выражение, после чего оно примет вид (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 = 4 · 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Ответ: (3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7 = 13 .

В отдельной статье, посвященной вычислению значений выражений, мы приводим и другие, более сложные примеры подсчетов в случае выражений с корнями, степенью и др. Рекомендуем вам с ней ознакомиться.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

И умножение. Как раз об операции умножения и пойдет речь в этой статье.

Умножение чисел

Умножение чисел осваивается детьми во втором классе, и ничего в этом сложного нет. Сейчас мы рассмотрим умножение на примерах.

Пример 2*5 . Это значит либо 2+2+2+2+2, либо 5+5. Берем 5 два раза или 2 пять раз. Ответ, соответственно, 10.

Пример 4*3 . Аналогично, 4+4+4 или 3+3+3+3. Три раза по 4 или четыре раза по 3. Ответ 12.

Пример 5*3 . Делаем так же как и предыдущие примеры. 5+5+5 или 3+3+3+3+3. Ответ 15.

Формулы умножения

Умножение – это сумма одинаковых чисел, например, 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 или 2 * 5 = 5 + 5. Формула умножения:

Где, а – любое число, n – число слагаемых а. Допустим, а=2, тогда 2+2+2=6, тогда n=3 умножая 3 на 2, получаем 6.Рассмотрим в обратном порядке. Например, дано: 3 * 3, то есть. 3 умножить на 3 – это значит, что тройку надо взять 3 раза: 3 + 3 + 3 = 9. 3 * 3=9.

Сокращенное умножение

Сокращенное умножение – сокращение операции умножения в определенных случаях, и специально для этого выведены формулы сокращенного умножения. Которые помогут сделать вычисления наиболее рациональными и быстрыми:

Формулы сокращенного умножения

Пусть a, b принадлежат R, тогда:

    Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. Формула: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. Формула: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы. Формула: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

    Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения. Формула: (a + b)^3 = a^3 + 3a(^2)b + 3ab^2 + b^3

    Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. Формула: (a-b)^3 = a^3 - 3a(^2)b + 3ab^2 - b^3

    Сумма кубов a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

    Разность кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений. Формула: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Умножение дробей

Рассматривая сложение и вычитание дробей, прозвучало правило, приведения дробей к общему знаменателю, чтобы выполнить расчет. При умножении этого делать не надо ! При умножении двух дробей, умножается знаменатель на знаменатель, а числитель на числитель.

Например, (2/5) * (3 * 4). Умножим две трети на одну четверть. Умножаем знаменатель на знаменатель, а числитель на числитель: (2 * 3)/(5 * 4), тогда 6/20, совершаем сокращение, получаем 3/10.

Умножение 2 класс

Второй класс – это только начала изучения умножения, поэтому второклассники решают простейшие задачки на замену сложения умножением, умножают числа, учат таблицу умножения.Давайте рассмотрим задачи на умножение уровня второго класса:

    Олег живет в пяти этажном доме, на самом верхнем этаже. Высота одного этажа равняется 2 метрам. Какова высота дома?

    В коробке находятся 10 упаковок с печеньем. В каждой упаковке их 7 штук. Сколько печенья в коробке?

    Миша расставил свои игрушечные машинки в ряд. В каждом ряду их 7, а рядов всего 8. Сколько у Миши машинок?

    В столовой стоят 6 столов, а за каждым столом задвинуты 5 стульев. Сколько стульев в столовой?

    Мама с магазина принесла 3 пакета с апельсинами. В пакетах находятся по 22 апельсина. Сколько апельсиновпринесла мама?

    В саду растет 9 кустов клубники, а на каждом кустике растет 11 ягод. Сколько ягод растет на всех кустиках?

    Рома положил друг за другом 8 деталей трубы, одинакового размера по 2 метра. Какова длина полной трубы?

    В школу родители на первое сентября привезли детей. Приехало 12 машин, в каждой было по 2 ребенка. Сколькодетей привезли родители на этих машинах?

Умножение 3 класс

В третьем классе даются уже более серьезные задания. Помимо умножения будет так же проходиться Деление .

Среди заданий на умножение будет: умножение двузначных чисел, умножение столбиком, замена сложения умножением и наоборот.

Умножение столбиком:

Умножение столбиком – самый простой способ перемножить большие числа. Рассмотрим данный метод на примередвух чисел 427 * 36.

1 шаг . Запишем числа друг под другом, так чтобы 427 было на верху, а 36 внизу, то есть 6 под 7, 3 под 2.

2 шаг . Умножение начинаем с крайней правой цифры нижнего числа. То есть порядок умножения таков: 6 * 7, 6 * 2, 6 * 4, затем так же с тройкой: 3 * 7, 3 * 2, 3 * 4.

Итак, умножаем сначала 6 на 7, ответ:42. Записываем так: так как получилось 42, то 4 – десятки, а 2 – единицы, запись происходит аналогично сложению, а значит 2 записываем под шестеркой, а 4 прибавляем к двойке числа 427.

3 шаг . Затем аналогично делаем с 6 * 2. Ответ: 12. Первый десяток, который прибавляется к четверке числа 427, а второй – единицы. Складываем полученную двойку с четверкой от предыдущего умножения.

4 шаг . Умножаем 6 на 4. Ответа 24 и прибавляем 1 от предыдущего умножения. Получаем 25.

Итак, умножив 427 на 6, получился ответ 2562

ЗАПОМНИТЕ! Результат второго умножения нужно начать записывать под ВТОРОЙ цифрой первого результата!

5 шаг . Совершаем аналогичные действия с цифрой 3. Получаем ответ умножения 427 * 3=1281

6 шаг . Затем полученные ответы при умножении складываем и получаем итоговый ответ умножения 427 * 36. Ответ: 15372.

Умножение 4 класс

Четвертый класс – это уже умножение только больших чисел. Вычисление выполняются методом умножения в столбик. Метод описан выше доступным языком.

Например, найти произведение следующих пар чисел:

  1. 988 * 98 =
  2. 99 * 114 =
  3. 17 * 174 =
  4. 164 * 19 =

Презентация на умножение

Скачайте презентацию на умножение с простейшими заданиями для второклассников. Презентация поможет детям лучше ориентироваться в этой операции, потому что она составлена красочно и в игровом стиле – в лучшем варианте для обучения ребенка!

Таблица умножения

Таблица умножения учится каждым школьником во втором классе. Ее обязан знать каждый!

Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Примеры на умножение

Умножение на однозначное

  1. 9 * 5 =
  2. 9 * 8 =
  3. 8 * 4 =
  4. 3 * 9 =
  5. 7 * 4 =
  6. 9 * 5 =
  7. 8 * 8 =
  8. 6 * 9 =
  9. 6 * 7 =
  10. 9 * 2 =
  11. 8 * 5 =
  12. 3 * 6 =

Умножение на двузначное

  1. 4 * 16 =
  2. 11 * 6 =
  3. 24 * 3 =
  4. 9 * 19 =
  5. 16 * 8 =
  6. 27 * 5 =
  7. 4 * 31 =
  8. 17 * 5 =
  9. 28 * 2 =
  10. 12 * 9 =

Умножение двузначное на двузначное

  1. 24 * 16 =
  2. 14 * 17 =
  3. 19 * 31 =
  4. 18 * 18 =
  5. 10 * 15 =
  6. 15 * 40 =
  7. 31 * 27 =
  8. 23 * 25 =
  9. 17 * 13 =

Умножение трехзначных чисел

  1. 630 * 50 =
  2. 123 * 8 =
  3. 201 * 18 =
  4. 282 * 72 =
  5. 96 * 660 =
  6. 910 * 7 =
  7. 428 * 37 =
  8. 920 * 14 =

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра "Быстрый счет"

Игра «быстрый счет» поможет вам усовершенствовать свое мышление . Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ «да» или «нет» на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.

Игра "Математические матрицы"

«Математические матрицы» великолепное упражнение для мозга детей , которое поможет вам развить его мыслительную работу, устный счет, быстрый поиск нужных компонентов, внимательность. Суть игры заключается в том, что игроку предстоит из предложенных 16 чисел найти такую пару, которая в сумме даст данное число, например на картинке ниже данное число «29», а искомая пара «5» и «24».

Игра "Числовой охват"

Игра «числовой охват» нагрузит вашу память во время занятий с данным упражнением.

Суть игры – запомнить цифру, на запоминание которой отводится около трех секунд. Затем нужно ее воспроизвести. По мере прохождения этапов игры, количество цифр растет, начинаете с двух и далее.

Игра "Угадай операцию"

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Упрощение"

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Быстрое сложение"

Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Визуальная геометрия"

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Математические сравнения"

Игра «Математические сравнения» развивает мышление и память. Главная суть игры сравнить числа и математические операции. В этой игре надо сравнить два числа. На верху, написан вопрос, прочитайте его и ответьте правильно на поставленный вопрос. Ответить можно при помощи кнопок расположенных внизу. Там нарисованы три кнопки «левое», «равно» и «правое». Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

Мы рассмотрим в этой статье три варианта примеров:

1. Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

2. Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

3. Примеры, в которых много действий

1 Примеры со скобками (действия сложения и вычитания)

Рассмотрим три примера. В каждом из них порядок действий обозначен цифрами красного цвета:

Мы видим, что порядок действий в каждом примере будет разный, хотя числа и знаки одинаковые. Это происходит потому, что во втором и третьем примере есть скобки.

*Это правило для примеров без умножения и деления. Правила для примеров со скобками, включающих действия умножения и деления мы рассмотрим во второй части этой статьи.

Чтобы не запутаться в примере со скобками, можно превратить его в обычный пример, без скобок. Для этого результат, полученный в скобках, записываем над скобками, далее переписываем весь пример, записывая вместо скобок этот результат, и далее выполняем все действия по порядку, слева направо:

В несложных примерах можно все эти операции производить в уме. Главное — сначала выполнить действие в скобках и запомнить результат, а затем считать по порядку, слева направо.

А теперь — тренажеры!

1) Примеры со скобками в пределах до 20. Онлайн тренажер.

2) Примеры со скобками в пределах до 100. Онлайн тренажер.

3) Примеры со скобками. Тренажер №2

4) Вставь пропущенное число — примеры со скобками. Тренажер

2 Примеры со скобками (сложение, вычитание, умножение, деление)

Теперь рассмотрим примеры, в которых кроме сложения и вычитания есть умножение и деление.

Сначала рассмотрим примеры без скобок:

Есть одна хитрость, как не запутаться при решении примеров на порядок действий. Если нет скобок, то выполняем действия умножения и деления, далее переписываем пример, записывая вместо этих действий полученные результаты. Затем выполняем сложение и вычитание по порядку:

Если в примере есть скобки, то сначала нужно избавиться от скобок: переписать пример, записывая вместо скобок полученный в них результат. Затем нужно выделить мысленно части примера, разделенные знаками «+» и «-«, и посчитать каждую часть отдельно. Затем выполнить сложение и вычитание по порядку:

3 Примеры, в которых много действий

Если в примере много действий, то удобнее будет не расставлять порядок действий во всем примере, а выделить блоки, и решить каждый блок отдельно. Для этого находим свободные знаки «+» и «–» (свободные — значит не в скобках, на рисунке показаны стрелочками).

Эти знаки и будут делить наш пример на блоки:

Выполняя действия в каждом блоке не забываем про порядок действий, приведенный выше в статье. Решив каждый блок, выполняем действия сложения и вычитания по порядку.

А теперь закрепляем решение примеров на порядок действий на тренажерах!

Если у вас не открываются игры или тренажёры, читайте .

Мы познакомимся с действием умножение и узнаем, как это действие связано со сложением.

Решим следующую задачу:

Задача 1 (рис. 1)

В доме 5 этажей. На каждом этаже по 4 квартиры. Сколько квартир в этом доме?

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

На рисунке (рис. 1) изображен такой дом. Чтобы узнать количество квартир в доме, нужно сложить квартиры, находящиеся на первом (4), втором (4), третьем (4), четвертом (4) и пятом (4) этажах.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

В данном примере мы находим сумму одинаковых слагаемых. В математике это можно заменить другим действием - умножением. Мы заменим сумму произведением, мы сложили 5 раз по 4 квартиры - это можно записать как 4 · 5.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 · 5 = 20

Ответ: в доме 20 квартир.

Задание 1

Потренируемся заменять сложение умножением и умножение сложением.

Рассмотрим пример: заменим сумму одинаковых слагаемых произведением (произведение - это результат умножения): 5 + 5 + 5 = . Слагаемое 5 повторяется 3 раза, поэтому сумму 5 + 5 + 5 можно заменить произведением 5 · 3.

5 + 5 + 5 = 5 · 3

Теперь рассмотрим обратный пример: необходимо произведение 8 · 2 представить в виде суммы одинаковых слагаемых. 8 · 2 - это 8 повторить 2 раза, то есть 8 + 8.

Посмотрим на выражение: 7 + 4 + 10 + 6 = и скажем, можно ли его заменить умножением.

В данном примере мы находим сумму не одинаковых, а разных слагаемых (первое слагаемое - 7, второе - 4, третье - 10, четвертое - 6). Значит, такую сумму заменить произведением нельзя, так как слагаемые не одинаковые. Мы можем только вычислить значение данного выражения. Выполним это удобным способом , для этого воспользуемся переместительным свойством сложения.

7 + 4 + 10 + 6 = 6 + 4 + 10 + 7 = 10 + 10 + 7 = 27

Задание 2

Составьте выражение, для того чтобы узнать, сколько кругов расположено на доске (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 2

Посмотрим внимательно: мы видим, что в каждом ряду 6 кругов (Важно, что количество кругов одинаковое). Выражение, которое поможет нам узнать общее количество кругов, - 6 + 6. Это сумма одинаковых слагаемых, значит, мы можем заменить ее произведением:

6 + 6 = 6 · 2 = 12

На данном уроке мы познакомились с действием умножения, а на следующем уроке мы научимся составлять выражения на умножение и находить их значение.

Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых. Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз. Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое. Результат умножения показывает, какое число получается. Например:

Список литературы

  1. Александрова Э.И. Математика. 2 класс. - М.: Дрофа, 2004.
  2. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. - М.: Астрель, 2006.
  3. Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. - М.: Просвещение, 2012.
  1. Festival.1september.ru ().
  2. 86talsch-okt.edusite.ru ().
  3. Prosv.ru ().
  4. Nachalka.school-club.ru ().

Домашнее задание

Заменить в следующих выражениях сложение умножением:

а. 2 + 2 + 2 + 2 =

г. 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 =

Заменить в следующих выражениях умножение сложением.


1. Элементы комбинаторики. Правила умножения и сложения.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых их элементов заданного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос: «Сколькими способами?» Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих 2х важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения .

Если из нек множ первый объект (элемент х) можно выбрать n1 способами и после каждого такого выбора второй объект (элем у) можно выбр n2 способами, то оба объекта (х и у) в указ порядке можно выбрать n1*n2 способами.

Это правило распр-ся на случай трех и более объектов.

Пример : сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5, если: а) числа не повт; б) числа могут повтор.

Решение: а) 1ую цифру выбираем 5мя способами, 2ую – 4мя, 3 – 3мя 5*4*3=60 способов

б) 5*5*5=125 сособов

Правило сложения

Если некот объект х можно выбр n1 способами, а объект у можно выбр n2 способами, причем первые и вторые выборы таковы, что они взаимно искл друг друга и не могут быть получены одновременно, то объект хUу (х или у) можно выбр n1+n2 способами.

Пример : Четыре города M,N,P,K соединены дорогами так, что из M в N ведут 5дорог, из N в K – 6 дорог, из M в P ведут 4 дороги, из P в К – 3 дороги.

Сколькими способами можно проехать из М в К?

Решение: Из М в К через N ведут 5*6=30 дорог, Из М в К через P ведут 4*3=12 дорог

Из М в К ведут 30+12=42 дороги.

2. Размещения, перестановки, сочетания.

Размещениями из n-элементов по m элементов в каждом называются такие комбинации, из которых каждая содержит m элементов из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга порядком их следования, либо самими элементами.

Если элементы комбинации не повторяются.

Размещениями из n-элементов по m элементов с повторениями называются такие комбинации, в которых каждая содержит m элементов из данных n элементов, записанных в каком нибудь порядке, причем один и тот же элемент может входить в комбинацию более одного раза.

Размещения с повторениями обозначаются Ã и вычисляются по формуле:


Примеры в 1ом вопросе!

Перестановками из n-элементов называются такие комбинации, которые отличаются лишь порядком следования этих элементов.

Пример: Имеется 5 равных геом фигур: 3 желтых и 2 белых круга. Сколько различных узоров можно составить из этих кругов, располагая их в ряд?

Решение: Желтые круги будут повт 2! раз

Белые - 3! раз

Число разл узоров будет равно 5!/2!*3!=10

Перестанови, в которых хотя бы один элемент встречается более одного раза, называются перестановкам с повторениями.

Сочетаниями из n-элементов по m элементов в каждом называются такие комбинации, каждая из которых состоит из m элементов, выбранных из данных n элементов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.


Пример: Сколькими способами можно выбрать 3 представителей учебной группы в студ совет, если в группе 25чел.

Сочетаниями из n-элементов по m с повторениями назыв такие комбинации, каждая из которых состоит из m элементов из данных n элементов, причем один и тот же элемент может входить в комбинацию более одного раза.

Обозначается – Č и вычисл по форм:


3. Бином Ньютона.

Бином Ньютона – это формула, представляющая выражение

в виде многочлена.

Она имеет вид:

Её можно записать иначе:


, где - число сочетаний из n элементов по k,


Известные формулы сокращенного умножения: квадрат суммы, квадрат разности, куб суммы, куб разности являются частными случаями бинома Ньютона.

Когда степень бинома невелика, коэффициенты многочлена могут быть получены с помощью треугольника Паскаля.

Любой элемент треугольника паскаля, распол в n-ой строке на k-ом месте выражает ,

Где отчет n ведется от 1, а отчет k ведется от 0.

Пример : Представить в виде многочлена

    Булевы функции. Определение. Примеры.

Алгебра логики, выстроенная в XIX веке, долго существовала как абстрактная, хотя и очень красивая наука. Но в середине XX века оказалось, что она имеет конкретное и очень важное применение в современной жизни. Булева алгебра в настоящее время служит основой для описания логики работы аппаратных и программных средств ЭВМ. Она ис-пользует логические переменные, которые принимают лишь два значения 0 и 1. Аналогично и ЭВМ использует лишь сигналы 0 и 1, воспринимая их как логические переменные.

Рассмотрим множество В = {0;1}.

Тогда В 2 = {(0;0),(0;1),(1;0),(1;1). Снимем разделительный к внутри каждой пары и уберём скобки. Тогда В 2 = {00, 01,10,11}. Аналогично В 3 = Вх В 2 ={000,001,010,011,100,101,110,111} и т. д.,

Каждому элементу множества В n поставим в соответствие единст-венный элемент множества В - {0; 1}. Полученное соответствие наз булевой функцией . Элементы множества В n являются значениями аргумента булевой функции. Они представляют собой наборы, состоящие из нулей и единиц, и называются кортежами. Длиной кортежа назы-вается число цифр, образующих кортеж. Множество В n - область определения функции

Множества значений булевой функции, вообще говоря это значение функции В = {0;1}.

Задание булевой функции в виде таблицы, в которой указаны значения каждой переменной кортежа и значение самой функции, называется заданием таблицей истинности или матричным заданием булевой функции.

Геометрическая интерпретация отражает геометрический способ задания булевых функций.

Область определения D (f ) булевой функции n = 1 это совокупность двух точек 0 и 1 числовой прямой, т.е. одномерного куба

Если п = 2, то D (f ) = {00,01,10,11}- это множество вершин квадрата, т. е. двухмерного куба

Если п = 3, то D (f ) = {000,001,010,01 1,100,101,110,111}

множество вершин трёхмерного куба в декартовой системе координат.

На кортежах длины n можно составить

различных простейших булевых функций.

Если n=1, то число простейших булевых функций равно 4, если n=2, то их 16, если n=3, то их 256

Если n=1, то существует 4 простейших булевых функций:


- константа 0(тождественный 0)


- константа 1(тождественная 1)


- тождественная функция


- отрицание

5. Реализация булевых функций формулами.










Отрицание

Конъюнкция (логическое умножение)

Дизъюнкция

Импликация

Отрицание импликации

Эквиваленция

Сумма по модулю 2

Стрелка Пирса

‌‌‌ ‌‌‌‌‌‌│ - штрих Шеффера

Порядок действий в формулах определяется с помощью скобок. Чтобы уменьшить их количество, на множестве функций вводится порядок действий.

Самой старшей считается «отрицание»

Затем – «конъюнкция», «штрих Шеффера», «стрелка Пирса»

Затем – «дизъюнкция»

Затем – «импликация»

На самом низком уровне – эквиваленция и сумма по модулю 2.

Булевы функции называют равными, если совпадают их таблицы истинности. Функции, соответствующие равным формулам, называются равносильными. Следует отметить, что одна и та же функция может быть представлена разными формулами.


Правила комбинаторики При вычислении количества различных комбинаций используются правила сложения и умножения . Сложение используется, когда...

  • Дискретная математика. Теория вероятностей и математическая статистика

    Книга >> Математика

    17 4.2. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей 22 4.3. Полная вероятность. Формула... то сегодня пятница. 3.3. Элементы комбинаторики Правило суммы: Если элемент x можно выбрать n способами, а элемент y  m способами, ...

  • Решение вопросов теории вероятности на уроках математики

    Дипломная работа >> Педагогика

    Событий, сложение и умножение вероятностей. После этого идет блок комбинаторики , где рассматривается правило умножения , перестановки, ... и других. Библиография Бродский, Я. Об изучении элементов комбинаторики , вероятности, статистики в школе [Текст] / Я. ...

  • Методика обучения решению комбинаторных задач

    Дипломная работа >> Педагогика

    Статистические исследования. 3. Элементы комбинаторики . 4. Начальные... элементов по k и сочетания из n элементов по k. С помощью комбинаторного правила умножения ... «Сложение и умножение вероятностей» рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей...

    • независимого проведения двух испытаний А и В , следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В .

    Правило умножения для двух независимых испытаний удобно объяснять, используя прямоугольники, разбитые на квадратики, или прямоугольные таблицы. Но если проводятся три испытания, то для иллюстрации надо использовать и длину, и ширину, и высоту, и на картинке получится прямоугольный параллелепипед, разбитый на кубики. Здесь уже рисунок и объяснения становятся сложнее, поскольку, например, будут невидимые кубики. Еще хуже дело обстоит с четырьмя испытаниями. В этом случае для рисунка нам просто не хватит измерений, ведь окружающее нас пространство всего лишь трехмерно.

    Оказывается, правило умножения для трех, четырех и т. д. испытаний можно объяснить, не выходя за рамки плоскости, с помощью геометрической модели, которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, наглядна как всякая картинка, и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив.

    Пример 3 . Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

    Решение. Будем искать решение с помощью дерева возможных вариантов (рис. 4.1). Посмотрим на его левую «веточку», идущую от «флага», пусть верхняя полоса – белого цвета , тогда средняя полоса может быть синей или красной, а нижняя – соответственно, красной или синей. Получилось два варианта цветов полос флага: белая, синяя, красная и белая, красная, синяя.

    Пусть теперь верхняя полоса – синего цвета , это вторая «веточка».

    Рисунок 4.1

    Тогда средняя полоса может быть белой или красной, а нижняя – соответственно, красной или белой. Получилось еще два варианта цветов полос: синяя, белая, красная и синяя, красная, белая.

    Аналогично рассматривается случай для верхней полосы красного цвета. Получится еще два варианта: красная, белая, синяя и красная, синяя, белая полосы флагов. Всего 6 комбинаций.

    Построенная схема действительно напоминает дерево, только перевернутое. Видимо, поэтому ее и называют деревом возможных вариантов.

    Вот как, например, выглядит дерево возможных вариантов для примера 1 (рисунок 4.2):

    Для следующего примера мы приведем три различных способа решения: с помощью простого перебора , с помощью дерева вариантов и по правилу умножения.

    Рисунок 4.2

    Пример 4. В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется различных способов освещения коридора?

    Решение.

    Первый способ . Пронумеруем лампочки и будем писать «+» или «-» в зависимости от того, горит или не горит очередная лампочка. Тогда все способы освещения можно просто перечислить: + + +, + + -, + - +, - + +, + - -, - + -, - - +,

    Всего 8 способов.

    Второй способ . Дерево возможных вариантов представлено на рисунке 4.3. С его помощью находим, что осветить коридор можно 8 способами.

    Третий способ. Первая лампочка может или гореть, или не гореть, т.е. имеется два возможных исхода. То же самое относится и ко второй, и к третьей лампочкам. Мы предполагаем, что лампочки горят или нет независимо друг от друга. По

    Рисунок 4.3 правилу умножения получаем, что число всех способов освещения равно 2 2 2 = 8.

    У каждого из этих трех способов решения в каждом конкретном случае есть свои преимущества и свои недостатки. Выбор способа решения – за вами! Отметим все же, что правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи. Например, оно приводит к крайне важному в математике понятию факториала. Рассмотрим сначала примеры.

    Пример 5 . В семье – 6 человек, и за столом в кухне стоят 6 стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?

    Решение. Ответ оказывается неожиданно большим: почти два года! Объясним его. Для удобства рассуждений будем считать, что семья (бабушка, дедушка, мама, папа, дочь, сын) будет рассаживаться на стулья поочередно. Нас интересует, сколько всего существует различных способов их размещения на стульях.

    Предположим, что первой усаживается бабушка. У нее имеется 6 вариантов выбора стула. Вторым садится дедушка и независимо выбирает стул из 5 оставшихся. Мама делает свой выбор третьей и выбор у нее будет из 4 стульев. У папы будет уже 3 варианта, у дочки – 2, ну а сын сядет на единственный незанятый стул. По правилу умножения получаем, что всего имеется 6·5·4·3·2·1 = 720 различных способов размещения. Таким образом, в «игру с рассаживаниями» семья может играть 720 дней, т. е. почти 2 года.

    Ответ: 720.

    Пример 6 . Десять разных писем раскладывают по одному в десять конвертов. Сколько существует способов такого раскладывания?

    Решение. Предложенная ситуация отличается от предыдущей (пример 5). Действительно, там были люди и стулья, здесь – письма и конверты. Однако и здесь, и там требуется узнать, сколькими способами можно разместить п предметов на п местах.

    Повторяя предыдущее решение, получаем, что всего имеется 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1=3 628 800 способов раскладывания писем по конвертам. Более 3,5 миллионов!

    Ответ: 3628800.

    Как мы видим, условия задач – разные, а решения, да и полученные ответы, по сути дела, одинаковы. Удобно поэтому ввести и одинаковые обозначения для таких ответов.

    Определение. Произведение первых подряд идущих п натуральных чисел обозначают п!

    п! = 1·2·3·…·(п-2)·(п-1)·п

    Знак п! читается как «эн факториал», что в дословном переводе с английского языка означает «состоящий из п множителей». Приведем несколько первых значений для п:

    3! = 1·2·3 = 6

    4! = 1·2·3·4 = 24

    5! = 1·2·3·4·5 = 120

    6! = 1·2·3·4·5·6 = 720 и т.д.

    Рассмотрим еще несколько примеров:

    Пример 7. Вычислить: а) 3!; б) 7!-5!; в) .

    Решение. а) 3!=1∙2∙3=6.

    б) т.к. 7!= 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 и 5!= 1∙2∙3∙4∙5, то 5! можно вынести за скобки, тогда получим 5!(6∙7-1)= 1∙2∙3∙4∙5∙41=4920.

    в) .

    Пример 8. Упростить выражение: .

    Решение. =1∙2∙3∙…∙(п- 1)∙п∙(п+1), а =1∙2∙3∙…∙(п-1), после сокращения получим п∙(п+1).

    Как же сформулировать общее утверждение, частными случаями которого являются решения примеров 3, 5 и 6? Вот один из возможных вариантов.

    ТЕОРЕМА: п различным элементам можно присвоить номера от 1 до п ровно п! различными способами.

    Каждый способ нумерации от 1 до п , о котором идет речь в теореме, часто называют перестановкой данного п -элементного множества. Действительно, можно считать, что каждая такая нумерация просто расставляет или переставляет все элементы множества в некотором порядке.

    Перестановками из п элементов называют комбинации, которые отличаются друг от друга только порядком элементов.

    Число перестановок множества из п элементов обозначают Р п . Значит, приведенную теорему можно записать в виде формулы:

    Р п = п!

    Кроме правила умножения в комбинаторике иногда используется еще правило сложения: Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения одного из двух испытаний А или В, следует сложить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

    Пример 9. На столе в стаканчике стоит 5 карандашей и 3 ручки. Для того, чтобы написать записку (записать телефонный номер и т.п.), мы можем взять 1 из 5 карандашей или 1 из 3 ручек, то есть у нас имеется 5 возможностей выбора одного карандаша и 3 возможности выбора одной ручки. Так как мы выбираем только 1 предмет, карандаш или ручку, то число всех возможностей выбора равно: 5 + 3 = 8.

    Правила умножения и сложения применимы для любого количества независимых испытаний.

    Подведем итоги нашего знакомства с простейшими комбинаторными задачами. Мы получили основное правило – правило умножения, рассмотрели его геометрическую модель – дерево возможных вариантов, ввели новое понятие – факториал, сформулировали теорему о перестановках, в которой это понятие используется.

    Для правильного вычисления выражений, в которых нужно произвести более одного действия, нужно знать порядок выполнения арифметических действий. Арифметические действия в выражении без скобок условились выполнять в следующем порядке:

    1. Если в выражении присутствует возведение в степень, то сначала выполняется это действие в порядке следования, т. е. слева направо.
    2. Затем (при наличии в выражении) выполняются действия умножения и деления в порядке их следования.
    3. Последними (при наличии в выражении) выполняются действия сложения и вычитания в порядке их следования.

    В качестве примера рассмотрим следующее выражение:

    Сначала необходимо выполнить возведение в степень (число 4 возвести в квадрат и число 2 в куб):

    3 · 16 - 8: 2 + 20

    Затем выполняются умножение и деление (3 умножить на 16 и 8 разделить на 2):

    И в самом конце, выполняются вычитание и сложение (из 48 вычесть 4 и к результату прибавить 20):

    48 - 4 + 20 = 44 + 20 = 64

    Действия первой и второй ступени

    Арифметические действия делятся на действия первой и второй ступени. Сложение и вычитание называются действиями первой ступени , умножение и деление - действиями второй ступени .

    Если выражение содержит действия только одной ступени и в нём нет скобок, то действия выполняются в порядке их следования слева направо.

    Пример 1.

    15 + 17 - 20 + 8 - 12

    Решение. Данное выражение содержит действия только одной ступени - первой (сложение и вычитание). Надо определить порядок действий и выполнить их.

    Ответ: 42.

    Если выражение содержит действия обеих ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени, в порядке их следования (слева направо), а затем действия первой ступени.

    Пример. Вычислить значение выражения:

    24: 3 + 5 · 2 - 17

    Решение. Данное выражение содержит четыре действия: два первой ступени и два второй. Определим порядок их выполнения: согласно правилу первым действием будет деление, вторым - умножение, третьим - сложение, а четвёртым - вычитание.

    Теперь приступим к вычислению.

    Поделиться: