Vaš dopisni tečaj o geometriji kovao je Losev. Prezentacija na temu "Određivanje diedralnih kutova" Krajevi segmenta leže na plohama

5. Kružna slika:

Slika kružnice sa središtem u točki O1 je elipsa sa središtem u točki O, koja pripada ravnini projekcije α

Zajednička okomica dvaju pravaca koji se sijekuzove se segment s krajevima na tim linijama, okomito na svaku od njih.

Udaljenost između križnih linijanaziva se duljina njihove zajedničke okomice. Jednaka je udaljenosti između paralelnih ravnina koje prolaze kroz te pravce.

Kut između pravaca koji se sijekuKut između pravaca koji se sijeku paralelnih sa zadanim pravcima koji se sijeku naziva se.

Generalizirani teorem o tri okomice

Svaka ravna crta na ravnini okomita na projekciju nagnute na tu ravninu također je okomita na nagnutu.

I obrnuto: ako je pravac u ravnini okomit na nagnutu, onda je okomit i na projekciju nagnute.

Kut između pravca i ravnine zove se kut između pravca i njegove projekcije na ravninu (kut φ).

Kut između dvije ravnine koje se sijekuzove se kut između pravca presjeka tih ravnina sa

ravnina okomita na presjek tih ravnina (kut φ‘).

Područje ortogonalne projekcije poligona na ravninujednak je umnošku njegove površine i kosinusa kuta između ravnine mnogokuta i površine projekcije.

Zadatak 1. Kroz točku O sjecišta dijagonala kvadrata ABCD povučena je okomica MO duljine 15 cm na njegovu ravninu Odredite udaljenost od točke M do stranica kvadrata ako je njegova stranica 16 cm.

Odgovor: 17 cm.

Zadatak 2. Odsječak AS jednak 12 cm okomit je na ravninu trokuta ABC u kojem je AB=AC=20 cm, BC=24 cm Odredite udaljenost od točke S do pravca BC.

Odgovor: 20 cm.

Zadatak 3. Na ravninu pravokutnika ABCD, čija je površina 180 cm2, povučena je okomica SD, SD = 12 cm, BC = 20 cm. Odredite udaljenost od točke S do stranica pravokutnika.

Odgovor: 12 cm, 12 cm, 15 cm, 4 34 cm.

Zadatak 4. Krak AC pravokutnog trokuta jednak je a, kut B jednak je φ. Kroz vrh pravi kut na ravninu tog trokuta povučena je okomica MC duljine a. Odredite udaljenost od krajeva okomice do hipotenuze.

Odgovor: a cosϕ; a 1+ cos2 ϕ .

Zadatak 5. U trokutu ABC, stranice AB = 13 cm, AC = 15 cm, iz vrha A povučena je okomica duljine 5 cm na njegovu ravninu.

Odgovor: 13 cm.

Zadatak 6. Na ravninu romba ABCD povučena je okomica MC duljine 7 cm u kojoj je Ð A = 45°, AB = 8 cm Odredite udaljenost od točke M do stranica romba.

Odgovor: 7 cm, 7 cm, 9 cm, 9 cm.

Zadatak 7. Konstruirajte zajedničke okomice na prave AB i CD na slici kocke.

Zadatak 8. Kroz stranicu AC jednakostraničnog trokuta ABC povučena je ravnina α. Kut između visine BD trokuta i te ravnine jednak je φ. Odredite kut između pravca AB i ravnine α.

Zadatak 9. Kroz središte O pravilnog trokuta ABC je povučen na njegovu ravninu

okomito na MO. AB=a 3. Kut između pravca MA i ravnine trokuta je 45°. Odredi kut između ravnina: 1) AMO i VMO; 2) IUD i ABC.

Odgovor: 1) 60°; 2) arctg 2.

Zadatak 10. Ravnine jednakostraničnog trokuta ABC i ABD su okomite. Pronađite kut:

1) između pravca DC i ravnine ABC; između ravnina ADC i BDC.

Odgovor: 1) 45°; 2) arccos 1 5 .

Zadatak 11. Dokažite teorem o površini projekcije mnogokuta za slučaj kada je mnogokut trokut u kojem niti jedna stranica nije paralelna s ravninom projekcije.

Zadatak 12. Brid kocke jednak je a. Odredite površinu poprečnog presjeka kocke ravninom koja prolazi kroz vrh baze pod kutom od 30° u odnosu na tu bazu i siječe sve bočne bridove.

Odgovor: 2 3 a 2 .

Zadatak 13. Stranice pravokutnika su 20 i 25 cm. Njegova projekcija na ravninu je slična njemu. Nađi opseg projekcije.

Odgovor: 72 cm ili 90 cm.

Zadatak 14. Jednakokračni trokut visine 16 cm savijen je duž središnje crte MN, paralelne s osnovicom AC, tako da je vrh B udaljen 4 cm od ravnine četverokuta ACNM.

a) Odredite kut između ravnina AMC i MBN;

b) Konstruirajte linearni kut diedarskog kuta BMNC i odredite kutnu mjeru ako se ortogonalna projekcija vrha B na ravninu četverokuta AMNC nalazi izvan njegovih granica;

c) Usporedi kutne mjere diedarskog kuta BMNC i kuta BMA; d) Odredite udaljenost od točke B do pravca AC;

e) Odredi udaljenost pravca MN od ravnine ABC;

f) Konstruirajte presječnu liniju ravnina AMB i BNC.

3. Zadaci samokontrole

1. Brid kocke je 10 cm. Odredi udaljenost između pravaca a i b.

2. Kroz vrh A trokuta ABC povučena je pravac a okomita na ravninu trokuta. Odredi udaljenost pravaca a i BC ako je AB = 13 cm, BC = 14 cm, AC = 15 cm.

Odgovor: 12 cm.

3. Na ravninu kvadrata ABCD povučena je okomica KD. Stranica kvadrata je 5 cm Odredi udaljenost između pravaca: 1) AB i KD; 2) KD i AC.

Odgovor: 1) 5 cm; 2) 5 2 2 cm.

4. Kut između ravnina α i β je 30°. Točka A, koja leži u ravnini α, udaljena je od presjecišta ravnina 12 cm. Odredite udaljenost od točke A do ravnine β.

Odgovor: 6 cm.

5. Kroz središte O kvadrata ABCD povučena je okomica SO na njegovu ravninu. Kut između pravca SC i ravnine kvadrata je 60°, AB = 18 cm Odredite kut između ravnina ABC i BSC.

Odgovor: arctg 6.

6. Kvadrat sa stranicom 4 2 cm savijen je duž pravca koji prolazi središtima M i N stranica DC i BC tako da je vrh C udaljen od ravnine.

AMN za 1 cm.

a) nađite kut između ravnina ADM i CMN;

b) konstruirajte linearni kut diedarskog kuta BMNC i odredite njegovu kutnu mjeru ako se ortogonalna projekcija vrha C na ravninu peterokuta ABNMD nalazi izvan njegovih granica;

c) usporedi kutne mjere diedarskog kuta BMNC i kuta CNB; d) nađite udaljenost od točke C do pravca BD;

e) pronaći udaljenost pravca MN od ravnine BDC;

f) konstruirajte presjek ravnine BNC i DMC.

Odgovor: a) 30°; d) 2 × 2 + 3 cm; d) 2 - 3 cm.

7. Vrhovi A i D paralelograma ABCD leže u ravnini α, a druga dva leže izvan te ravnine, AB = 15 cm, BC = 19 cm Projekcije dijagonala paralelograma na ravninu α su 20 cm i 22 cm Odredi udaljenost stranice BC od ravnine α.

Upute: Upotrijebite teorem o zbroju kvadrata dijagonala paralelograma.

Odgovor: 12 cm.

8. Točka M udaljena je od svake stranice jednakokračnog trapeza 12 cm. Osnovice trapeza su 18 cm i 32 cm. Odredite udaljenost od točke M do ravnine trapeza.

Odgovor: točka M leži u ravnini trapeza.

9. Kroz vrh A pravokutnika ABCD na ravninu pravokutnika povučena je kosa AM koja sa stranicama AD i AB zaklapa kut od 50°. Odredite kut između te nagnute ravnine i ravnine pravokutnika.

Odgovor: 32°57’.

10. Krajevi isječka AB=25 cm leže na plohama diedralnog kuta jednakog 60°. Iz točaka A i B okomice AC i BD spuštene su na rub diedra, AC = 5 cm, BD = 8 cm.

Odgovor: 24 cm.

Lekcija br. 7

Tema lekcije: "Kartezijev koordinatni sustav u prostoru"

- učvrstiti školsko znanje učenika o pravokutnom koordinatnom sustavu u prostoru;

- usustaviti znanja o jednadžbama likova u prostoru;

- učvrstiti vještine rješavanja problema o sastavljanju jednadžbi geometrijskih slika u prostoru.

1. Kratak sažetak teorijskog gradiva

t.O – ishodište koordinata; Ox – apscisna os; Ou – ordinatna os; Oz – aplicirana os. xy , xz u yz – koordinatne ravnine

Udaljenost između dvije točke

Koordinate sredine segmenta

Slika F dana je ovom jednadžbom u pravokutne koordinate Oh, ako točka pripada liku F ako i samo ako koordinate te točke zadovoljavaju zadanu jednadžbu. To znači da su ispunjena 2 uvjeta:

1) ako točka pripada liku F, tada njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu;

2) ako brojevi x, y, z zadovoljavaju ovu jednadžbu, tada točka s takvim koordinatama pripada liku F.

Jednadžba sfere Sfera je skup točaka u prostoru koje su od dane točke udaljene za

navedena pozitivna udaljenost. U tom se slučaju ta točka naziva središte sfere, a ta udaljenost njezin polumjer.

Kugla polumjera R sa središtem u točki A (a;b;c) dana je jednadžbom (po definiciji)

(x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = R 2.

Ako se središte sfere poklapa s ishodištem koordinata, tada je a=b=c=0 i jednadžba sfere ima oblik: x 2 + y 2 + z 2 = R 2.

Jednadžba ravnine

Teorema. Ravnina u prostoru određena je u sustavu pravokutnih koordinata x, y, z jednadžbom oblika Ax+By+Cz+D=0 uz uvjet da je A2 +B2 +C2 >0.

Vrijedi i obrnuta tvrdnja: jednadžba Ax+By+Cz+D=0, pod uvjetom da A2 +B2 +C2 >0 definira ravninu u prostoru u pravokutnom koordinatnom sustavu.

Jednadžba pravca

Pravac u prostoru je presječna linija dviju ravnina.

Ð A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0; í î A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Ako pravac AB koji prolazi točkama A (x1 ;y1 ;z1 ) i B (x2 ;y2 ;z2 ) nije paralelan ni s jednom koordinatnom ravninom, tada njegova jednadžba ima oblik:

2. Sustav zadataka za razrednu nastavu

Zadatak 1. Stranica kocke je 10. Odredite koordinate njezinih vrhova.

Zadatak 2. Odredi opseg trokuta ABC ako je A(7;1;-5), B(4;-3;-4), C(1;3;-2).

Odgovor: 14 + 26.

Zadatak 3. Leže li tri točke A, B, C na istom pravcu ako je A(3;2;2), B(1;1;1),

Odgovor: Da.

Zadatak 4. Koja od točaka – A(2;1;5) ili B(-2;1;6) – leži bliže ishodištu? Odgovor: Točka A.

Zadatak 5. Zadane su točke K(0;2;1), P(2;0;3) i T(-1;y;0). Nađite vrijednost y takvu da je zadovoljen uvjet: CT = RT.

Odgovor: -3.

Zadatak 6. Odredite koordinate polovišta stranica trokuta ABC, ako je A(2;0;2),

B(2;2;0), C(2;2;2).

Odgovor: A1 (2;2;1), B1 (2;1;2), C1 (2;1;1).

Zadatak 7. Odredite duljinu medijane AM trokuta ABC ako je A(2;1;3), B(2;1;5),

Odgovor: AM=1.

Zadatak 8. Koje su od sljedećih jednadžbi jednadžbe sfere:

Zadatak 9. Napišite jednadžbe ravnine koja prolazi kroz: a) os Ox i točku A(1;1;1);

b) točke O(0;0;0); A(1;2;-3) i B(2;-2;5).

Zadatak 10. Ravnina i sfera dane su jednadžbama 4x+3y–4=0 i x2 +y2 +z2 –2x+8y+8=0. Pripada li središte sfere ovoj ravnini?

Zadatak 11. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi točkama A(1;3;2) i

Pronađite njihove sjecišne točke.

Zadatak 13. Odredite udaljenost od vrha D tetraedra ABCD do njegove stranice ABC,

ako je AC=CB=10, AB=12, DA=7, DB= 145, DC= 29.

Odgovor: 3.

Zadatak 14. Odredite duljinu brida AD tetraedra ABCD, ako je AB=AC=BC=10,

DB=2 29, DC= 46 i udaljenost od vrha D do ravnine lica ABC jednaka je

Odgovor: 214 ili 206.

3. Zadaci samokontrole

1. Zadane točke K(0;1;1); P(2;-1;3) i T(-1;y;0). Nađite vrijednost y takvu da je zadovoljen uvjet: CT = RT.

2. Zadane točke A (1;2;3) i B (3;-6;7). Odredite koordinate polovišta segmenta AB.

3. Odredite koordinate točke koja leži na osi Oy i jednako je udaljena od točaka A (4;-1;3) i B (1;3;0).

4. Odredite točke jednako udaljene od točaka A(0;0;1), B(0;1;0), C(1;0;0) i udaljene 2 od ravnine yz.

8. Napišite jednadžbu za ravninu paralelnu s ravninom xy koja prolazi točkom A(2;3;4).

9. Točke O(0;0;0); A(3;0;0); B(0;4;0) i O 1 (0;0;5) – vrhovi pravokutnog paralelopipeda. Napiši jednadžbe za ravnine svih njegovih stranica.

10. Napiši jednadžbe za pravac koji prolazi točkama A(1;1;2) i B(-3;2;7).

11. Na kojoj je udaljenosti od baze kocke paralelno s bazom isječak duljine b, ako jedan kraj isječka leži na dijagonali kocke, a drugi na dijagonali bočne plohe koja je siječe? Duljina ruba kocke a.

Odgovor: (2a ± 5b 2 − a 2) ÷ 5.

12. ABCDA1 B1 C1 D1 – pravokutni paralelopiped, AB=BC=a, AA1=2a. Odredi duljinu dužine MK, paralelne s plohom ABB1 A1, ako je M AD1, K DB1, AM:AD1 = 2:3.

Odgovor: a 3 5 .

Lekcija br. 8

Tema lekcije: “Vektori u prostoru i vektorska metoda za rješavanje stereometrijskih problema”

- generalizirati i produbiti školsko znanje učenika o vektorima i djelovanju na njih;

- nastaviti proučavanje vektorske metode za rješavanje planimetrijskih i stereometrijskih problema; a za "a, b.

Svojstvo 2: (xa) × b = x(a × b) za " a, b, x. Svojstvo 3: (a + b) × c = a × c + b × c za " a, b, c.

Dva posebna slučaja:

1) a = b; a × a = a2 = a 2 .

2) a × b = 0 ako i samo ako su vektori a i b okomiti. Ako je a ili b nulti vektor, tada je po definiciji okomit na bilo koji vektor.

Ako je a =(a1;a2;a3); b =(b1 ;b2 ;b3 ), tada je a × b = a 1 × b 1 + a 2 × b 2 + a 3 × b 3 .

Krugovi su jednaki. Pronađite površinu paralelograma. Dio. Dijagonalno. Četverokut. Paralelogram. Kutovi. Središta kružnica. Krug. Dokaz. Trokuti. Dva kruga. Svojstvo paralelograma. Visina paralelograma. Geometrija. Kvadrat. Površina paralelograma. Svojstva paralelograma. Jednakost segmenata. Točkice. Zadaci. Tangenta na kružnicu. Oštar kut. Srednja linija. Znakovi paralelograma.

"Dvostrani kut, okomitost ravnina" - Svih šest lica su pravokutnici. Udaljenost između linija koje se sijeku. Oznaka okomitosti dviju ravnina. Pronađite udaljenost. Linearni diedarski kut. Pronađite kut. Ravnina okomita na pravac. Planimetrija. Diedralni kutovi. Pravac a je okomit na ravninu. Rub kocke. Paralelopiped. Odjeljak. Ravnine ABC1 i A1B1D su okomite. Nađi tangens kuta. Dijagonalno.

“Korolariji iz aksioma stereometrije” - Sekcija geometrije. Presjek pravca i ravnine. Ravan i ravan. Zrakoplovi. Konstruirajte sliku kocke. Koliko lica prolazi kroz jednu, dvije, tri, četiri točke. Objašnjenje novog gradiva. Nacrtajte ravnu liniju. Dokaz. Otopina. Usmeni rad. Izjave. Aksiomi stereometrije i neke posljedice iz njih. Što je stereometrija? Aksiomi planimetrije. Pronađite liniju presjeka ravnina.

“Pojam piramide” - Lica piramide. Test pitanja. Bočna rebra piramide. Čuda Gize. Poliedar. Jednaki kutovi. Piramida u ekonomiji. Ruta putovanja. U podnožju piramide nalazi se mastaba. Bočni rub. Egipatske piramide. Piramide u kemiji. Baza piramide. Stepenaste piramide. Model suvremenog industrijskog poduzeća. Virtualno putovanje u svijet piramida. Bočno rebro. Struktura molekule metana. Susjedna bočna lica.

"Primjeri središnje simetrije" - Uzorci na tepisima. Segment. Kut sa zadanom mjerom stupnjeva. Avion. Segment zadane duljine. Centralna simetrija u šesterokrakoj zvijezdi. Središnja simetrija. Centralna simetrija u kvadratima. Hotel "Pribaltiyskaya". Kamilica. Primjeri simetrije kod biljaka. Ravno. Centralna simetrija u pravokutnom koordinatnom sustavu. Centralna simetrija u transportu. Aksiomi stereometrije. Centralna simetrija u zoologiji.

“Aksiomi stereometrije, razred 10” - Aksiomi stereometrije. A, B, C? jedna ravna linija A, B, C? ? ? - jedini avion. Ravnina prolazi kroz dvije crte koje se sijeku, i to samo jednu. Zadatak Dat je tetraedar MABC čiji je svaki brid 6 cm. Imenuj pravac po kojem se sijeku ravnine: A) (MAB) i (MFC) B) (MCF) i (ABC). Korolari iz aksioma stereometrije. 4. Izračunajte duljine odsječaka AK i AB1 ako je AD=a. 2. Odredite duljinu segmenta CF i površinu trokuta ABC.

Slajd 2

Otvorena lekcija: “Dvostrani kutovi” za učenike 10-11 razreda koji uče geometriju po udžbeniku L.S. Atanasjan

Slajd 3

Upute za rad s prezentacijom:

Slajdovi se prikazuju pomoću miša. Možete početi raditi s bilo kojeg slajda. Možete odabrati dio slajdova. Možete kopirati potreban materijal.

Slajd 4

Diedralni kutovi. 10. razred 2008

Slajd 5

Ciljevi lekcije:1. Proširiti pojam: “Kut” 2. Izvesti definiciju diedarskih kutova 3. Naučiti mjeriti diedarske kutove4. Naučiti primijeniti svojstva diedrskih kutova pri rješavanju zadataka.

Slajd 6

Ponavljanje.1. Definicija linearnog kuta.2.Teorem o tri okomice.3.Nagibi i projekcija.4.Definicija trigonometrijskih funkcija.4. Svojstva pravokutnog trokuta.

Slajd 7

Kutove prikazujemo postupno, na naredbu miša, pa ponavljamo definiciju i svojstva Pravocrtni kut (oštri, pravi, tupi) Okomiti kutovi Susjedni kutovi Središnji kut Upisani kut.

Slajd 8

Slajd 9

Okomito, koso i projekcija. Teorem o tri okomice. Svojstva kosih i projekcija. Ponovite ova pitanja u zadacima.

Slajd 10

B S A K N Okomica, kosa i projekcija povezani su Pitagorinim teoremom o tri okomice za ravnu liniju KS. Ravnina ABC KS Jednake nagnute imaju …….. Velike nagnute………

Slajd 11

A B C D V H P N A B C D E F M H S O P R Odredite kut između pravca HD (AO) i ravnine baze i bočne plohe.

Slajd 12

A D C B F Povucite okomicu na DC i AD iz točke F ABCD – kvadrat, romb. Kako su međusobno povezane okomita, kosa i kosa projekcija?

Slajd 13

A B C D F Gdje možete vidjeti teorem o tri okomice?

Slajd 14

Zadatak.

Kroz vrh B kvadrata ABCD povučena je okomica BM. Poznato je da je MA=4cm MD=5cm, Nađi udaljenost od M do ravnine; Udaljenost između SN i DC. A B C D M

Slajd 15

Glavni dio lekcije.

Praktični zadaci: Svatko je uzeo list papira, savio ga na dva nejednaka dijela i zaključio da se dvije poluravnine koje se sijeku sa zajedničkom ravnom crtom nazivaju diedarski kut. Kako to izmjeriti? Nacrtajmo zajedničku ravnu liniju, prisjetimo se aksioma ravnina, Označimo točku na rubu. Povucimo okomice na rub iz zadane točke na svakoj plohi. Ponovno se savijamo duž ruba i zaključujemo da su kutovi različiti, što znači da ih treba razlikovati, kako? Uzimamo škare i napravimo rez duž okomica, umetnimo lim u pukotinu i vidimo linearni kut. Pregledavamo slajdove koji daju odgovore na primljene prijedloge. Definirajmo mjerenje diedarskih kutova. Dvostruke kutove prikazujemo na modelima piramida, prizmi i na tablicama.

Slajd 16

Diedarski kutovi Poznato je da je mjera diedralnog kuta mjera njegovog linearnog kuta. Ako na svakoj plohi označimo točku na rubu diedralnog kuta i povučemo zrake iz te točke okomito na rub, dobit ćemo linearni kut. M

Slajd 17

Točka na rubu može biti proizvoljna...