Dom » Vodene karakteristike » Najjednostavniji problemi s vektorima. Vektori za lutke

Najjednostavniji problemi s vektorima. Vektori za lutke

Napokon sam se dočepao goleme i dugo očekivane teme analitička geometrija. Prvo malo o ovom dijelu više matematike... Sigurno se sada sjećate školskog tečaja geometrije s brojnim teoremima, njihovim dokazima, crtežima itd. Što kriti, neomiljen i često opskuran predmet za značajan dio učenika. Analitička geometrija, čudno, može se činiti zanimljivijom i pristupačnijom. Što znači pridjev "analitički"? Odmah mi padaju na pamet dvije otrcane matematičke fraze: "metoda grafičkog rješenja" i "metoda analitičkog rješenja". Grafička metoda, naravno, povezan je s konstrukcijom grafikona i crteža. Analitički isti metoda uključuje rješavanje problema uglavnom kroz algebarske operacije. U tom smislu, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan; često je dovoljno pažljivo primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, to uopće nećemo moći učiniti bez crteža, a osim toga, radi boljeg razumijevanja materijala, pokušat ću ih citirati izvan nužde.

Novootvoreni tečaj o geometriji ne pretendira biti teorijski dovršen; usmjeren je na rješavanje praktičnih problema. U predavanja ću uključiti samo ono što je, s moje točke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako trebate potpuniju pomoć za bilo koji pododjeljak, preporučujem sljedeću dosta dostupnu literaturu:

1) Stvar koju, bez šale, poznaje više generacija: Školski udžbenik geometrije, autori – L.S. Atanasyan i tvrtka. Ova vješalica za školsku svlačionicu već je prošla kroz 20 (!) Reprinta, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 sveska. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za gimnazija, trebat će vam prvi svezak. Zadaci koji se rijetko susreću mogu mi ispasti iz vida, i priručnik za obuku pružit će neprocjenjivu pomoć.

Obje se knjige mogu besplatno preuzeti s interneta. Osim toga, možete koristiti moju arhivu s gotovim rješenjima, koja se nalaze na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Među alatima, ponovno predlažem vlastiti razvoj - programski paket u analitičkoj geometriji, što će znatno pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitatelj upoznat s osnovnim geometrijskim pojmovima i likovima: točka, pravac, ravnina, trokut, paralelogram, paralelopiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorin teorem, pozdrav ponavljačima)

A sada ćemo redom razmotriti: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Preporučam dalje čitanje najvažniji članak Točkasti umnožak vektora, i također Vektor i mješoviti umnožak vektora. Lokalni zadatak - Podjela segmenta u tom pogledu - također neće biti suvišan. Na temelju gore navedenih informacija, možete svladati jednadžba pravca u ravnini S najjednostavniji primjeri rješenja, koji će omogućiti naučiti rješavati geometrijske probleme. Sljedeći članci također su korisni: Jednadžba ravnine u prostoru, Jednadžbe pravca u prostoru, Osnovni problemi na pravcu i ravnini, drugi dijelovi analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.

Koncept vektora. Besplatni vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vektor nazvao usmjerena segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

U ovom slučaju, početak segmenta je točka, kraj segmenta je točka. Sam vektor je označen sa . Smjer bitno je, ako pomaknete strelicu na drugi kraj segmenta, dobit ćete vektor, a to je već potpuno drugačiji vektor. Zgodno je poistovjetiti koncept vektora s kretanjem fizičkog tijela: morate se složiti, ući na vrata instituta ili izaći s vrata instituta potpuno su različite stvari.

Pogodno je pojedine točke ravnine ili prostora smatrati tzv nulti vektor. Za takav vektor, kraj i početak se podudaraju.

!!! Bilješka: Ovdje i dalje možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravnini ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština izloženog gradiva vrijedi i za ravninu i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah primijetili štap bez strelice u oznaci i rekli, ima i strelica na vrhu! Istina, možete to napisati strelicom: , ali i to je moguće unos koji ću koristiti u budućnosti. Zašto? Očigledno se ta navika razvila iz praktičnih razloga; pokazalo se da su moji strijelci u školi i na fakultetu previše različiti i čupavi. U obrazovnoj literaturi ponekad se uopće ne bave pisanjem klinastim pismom, već podebljaju slova: , čime impliciraju da je riječ o vektoru.

To je bila stilistika, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati s dva velika latinična slova:
i tako dalje. U ovom slučaju prvo slovo Obavezno označava početnu točku vektora, a drugo slovo krajnju točku vektora.

2) Vektori se također pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor može se zbog kratkoće preoznačiti malim latiničnim slovom.

Duljina ili modul vektor različit od nule naziva se duljina segmenta. Duljina nultog vektora je nula. Logično.

Duljina vektora je označena znakom modula: ,

Kako pronaći duljinu vektora naučit ćemo (ili ćemo to ponoviti, kako tko) malo kasnije.

To su bile osnovne informacije o vektorima, poznate svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Jednostavno rečeno - vektor se može iscrtati iz bilo koje točke:

Navikli smo takve vektore nazivati jednakima (definicija jednakih vektora bit će dana u nastavku), ali s čisto matematičke točke gledišta, oni su ISTI VEKTOR ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Zato što tijekom rješavanja problema možete "pričvrstiti" ovaj ili onaj "školski" vektor na BILO KOJU točku ravnine ili prostora koji vam je potreban. Ovo je vrlo cool značajka! Zamislimo usmjereni segment proizvoljne duljine i smjera - može se "klonirati" beskonačno mnogo puta iu bilo kojoj točki prostora, zapravo postoji SVUDA. Postoji jedna studentska izreka: Svakog predavača briga za vektor. Uostalom, nije to samo duhovita rima, sve je gotovo točno - tu se može dodati i režirani segment. Ali nemojte se žuriti radovati, sami studenti često pate =)

Tako, slobodni vektor- Ovo mnogi identično usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, dana na početku odlomka: “Usmjereni segment naziva se vektor...”, podrazumijeva specifičan usmjereni segment uzet iz danog skupa, koji je vezan za određenu točku u ravnini ili prostoru.

Treba napomenuti da je sa stajališta fizike koncept slobodnog vektora općenito netočan, a bitna je točka primjene. Doista, izravan udarac iste snage u nos ili čelo, dovoljan da razvijem moj glupi primjer, povlači za sobom različite posljedice. Međutim, neslobodan vektori se također nalaze u tijeku vyshmat (ne idite tamo :)).

Akcije s vektorima. Kolinearnost vektora

Školski tečaj geometrije pokriva niz radnji i pravila s vektorima: zbrajanje po pravilu trokuta, zbrajanje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektora, množenje vektora brojem, skalarni produkt vektora itd. Kao polazište ponavljamo dva pravila koja su posebno relevantna za rješavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo zbrajanja vektora pomoću pravila trokuta

Razmotrimo dva proizvoljna vektora različita od nule i:

Morate pronaći zbroj ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, izdvojit ćemo vektor iz kraj vektor:

Zbroj vektora je vektor. Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je u njega unijeti fizičko značenje: neka tijelo putuje duž vektora , a zatim duž vektora . Tada je zbroj vektora vektor rezultirajuće staze s početkom u polaznoj točki i krajem u dolaznoj točki. Slično je pravilo formulirano za zbroj bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem vrlo nagnuto duž cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbroja.

Usput, ako je vektor odgođen od započeo vektora, tada dobivamo ekvivalent pravilo paralelograma zbrajanje vektora.

Prvo o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearni, ako leže na istoj liniji ili na paralelnim pravcima. Grubo rečeno, govorimo o paralelnim vektorima. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev "kolinearni".

Zamislimo dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, tada se takvi vektori nazivaju surežiran. Ako strelice pokazuju u različitim smjerovima, vektori će biti suprotnih smjerova.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenim simbolom paralelizma: , dok je moguće detaljiziranje: (vektori su suusmjereni) ili (vektori su suprotno usmjereni).

Rad vektor različit od nule na broju je vektor čija je duljina jednaka , a vektori i su suusmjereni i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti uz pomoć slike:

Pogledajmo to detaljnije:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, tada vektor mijenja smjer na suprotnost.

2) Duljina. Ako je množitelj sadržan unutar ili , tada je duljina vektora smanjuje se. Dakle, duljina vektora je pola duljine vektora. Ako je modul množitelja veći od jedan, tada je duljina vektora povećava se s vremena na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . Vrijedi i obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti kroz drugi, onda su takvi vektori nužno kolinearni. Stoga: ako vektor pomnožimo s brojem, dobivamo kolinear(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su suusmjereni. Vektori i također su suusmjereni. Svaki vektor prve skupine je suprotno usmjeren u odnosu na bilo koji vektor druge skupine.

Koji vektori su jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su u istom smjeru i imaju istu duljinu. Imajte na umu da kodirekcionost implicira kolinearnost vektora. Definicija bi bila netočna (suvišna) ako kažemo: “Dva vektora su jednaka ako su kolinearna, kosmjerna i imaju istu duljinu.”

Sa stajališta pojma slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, kao što je objašnjeno u prethodnom paragrafu.

Vektorske koordinate u ravnini i prostoru

Prva točka je razmatranje vektora na ravnini. Predstavimo kartezijanca pravokutni sustav koordinate i od ishodišta koordinata odgađamo singl vektori i:

Vektori i ortogonalni. Ortogonalno = Okomito. Preporučujem da se polako navikavate na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi respektivno kolinearnost I ortogonalnost.

Oznaka: Ortogonalnost vektora piše se uobičajenim simbolom okomitosti, na primjer: .

Vektori koji se razmatraju nazivaju se koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori tvore osnova u avionu. Što je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno; detaljnije informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora Jednostavnim riječima, baza i ishodište koordinata definiraju cijeli sustav - to je svojevrsni temelj na kojem vrije puni i bogati geometrijski život.

Ponekad se konstruirana osnova naziva ortonormalan osnovica ravnine: “orto” - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev “normaliziran” znači jedinica, tj. duljine baznih vektora jednake su jedinici.

Oznaka: osnova se obično piše u zagradama unutar kojih u strogom nizu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori to je zabranjeno preurediti.

Bilo koje ravninski vektor jedini put izraženo kao:
, Gdje - brojevima koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. I sam izraz nazvao vektorska dekompozicijapo osnovi .

Večera poslužena:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri rastavljanju vektora na bazu koriste upravo razmotreni:
1) pravilo množenja vektora brojem: i ;
2) zbrajanje vektora prema pravilu trokuta: .

Sada mentalno iscrtajte vektor iz bilo koje druge točke na ravnini. Posve je očito da će ga njegovo propadanje “nemilosrdno pratiti”. Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom." Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za svaki vektor. Smiješno je da sami bazični (slobodni) vektori ne moraju biti iscrtani iz ishodišta; jedan se može crtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i ništa se neće promijeniti! Istina, ne morate to učiniti, jer će i učitelj pokazati originalnost i izvući vam "kredit" na neočekivanom mjestu.

Vektori točno prikazuju pravilo množenja vektora brojem, vektor je suusmjeren s baznim vektorom, vektor je usmjeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli, možete je precizno zapisati ovako:

A bazični vektori su, usput rečeno, ovakvi: (zapravo, oni se izražavaju kroz sebe).

I na kraju: , . Usput, što je vektorsko oduzimanje i zašto nisam govorio o pravilu oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj zbrajanja. Dakle, ekspanzije vektora “de” i “e” lako se zapisuju kao zbroj: , . Slijedite crtež kako biste vidjeli koliko jasno dobro staro zbrajanje vektora prema pravilu trokuta funkcionira u ovim situacijama.

Razmotrena dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u ort sustavu(tj. u sustavu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora; sljedeća opcija je uobičajena:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori zapisani su na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri opcije notacije.

Dvojio sam da li da govorim, ali ću ipak reći: vektorske koordinate se ne mogu preuređivati. Strogo na prvom mjestu zapisujemo koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru, strogo na drugom mjestu zapisujemo koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru. Doista, i su dva različita vektora.

Odredili smo koordinate u avionu. Pogledajmo sada vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je gotovo sve isto! Samo će dodati još jednu koordinatu. Teško je napraviti trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti odvojiti od ishodišta:

Bilo koje 3D prostorni vektor jedini put proširiti preko ortonormirane baze:
, gdje su koordinate vektora (broja) u ovoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako ovdje rade vektorska pravila. Prvo pomnožite vektor s brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (malinasta strelica). Drugo, evo primjera dodavanja nekoliko, u ovom slučaju tri, vektora: . Vektor zbroja počinje u početnoj točki polazišta (početak vektora) i završava u konačnoj točki dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su slobodni; pokušajte mentalno odvojiti vektor od bilo koje druge točke i shvatit ćete da će njegova dekompozicija "ostati s njim".

Slično ravnom slučaju, uz pisanje inačice sa zagradama imaju široku primjenu: bilo .

Ako u ekspanziji nedostaje jedan (ili dva) koordinatna vektora, tada se na njihovo mjesto stavljaju nule. Primjeri:
vektor (pedantno ) – pišimo ;
vektor (pedantno) – zapisati;
vektor (pedantno ) – napišimo.

Osnovni vektori se pišu na sljedeći način:

To je možda sav minimum teorijskog znanja potrebnog za rješavanje problema analitičke geometrije. Pojmova i definicija može biti mnogo, pa preporučujem da teapots ponovno pročitaju i shvate ove informacije. I bit će korisno za svakog čitatelja da se s vremena na vrijeme obrati na osnovnu lekciju kako bi bolje usvojio materijal. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormirana baza, vektorska dekompozicija - ovi i drugi pojmovi često će se koristiti u budućnosti. Napominjem da materijali sa stranice nisu dovoljni za polaganje teorijskog testa ili kolokvija iz geometrije, jer pažljivo šifriram sve teoreme (i bez dokaza) - na štetu znanstvenog stila prezentacije, ali plus za vaše razumijevanje predmeta. Za detaljne teorijske informacije molimo poklonite se profesoru Atanasyanu.

I prelazimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije s vektorima u koordinatama

Vrlo je poželjno naučiti rješavati zadatke koji će se razmatrati potpuno automatski, te formule zapamtiti, ne morate ga čak ni namjerno zapamtiti, oni će sami zapamtiti =) Ovo je vrlo važno, budući da se drugi problemi analitičke geometrije temelje na najjednostavnijim elementarnim primjerima, pa će biti dosadno trošiti dodatno vrijeme jedući pijune . Nema potrebe da zakopčavate gornje gumbe na košulji, mnoge su vam stvari poznate iz škole.

Izlaganje gradiva ići će paralelnim tijekom - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule... vidjet ćete i sami.

Kako pronaći vektor iz dvije točke?

Ako su zadane dvije točke ravnine i , tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su zadane dvije točke u prostoru i , tada vektor ima sljedeće koordinate:

tj. od koordinata kraja vektora trebate oduzeti odgovarajuće koordinate početak vektora.

Vježba: Za iste točke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke ravnine i . Pronađite vektorske koordinate

Otopina: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeći unos:

O tome će odlučiti esteti:

Osobno sam se navikao na prvu verziju snimke.

Odgovor:

Prema uvjetu, nije bilo potrebno konstruirati crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih razjasnio neke točke za lutke, neću biti lijen:

Svakako morate razumjeti razlika između koordinata točke i koordinata vektora:

Koordinate točke– to su obične koordinate u pravokutnom koordinatnom sustavu. Mislim da svi znaju crtati točke na koordinatnoj ravnini od 5-6 razreda. Svaka točka ima točno određeno mjesto na ravnini i ne može se nikamo pomaknuti.

Koordinate vektora– to je njegovo proširenje prema osnovi, u ovom slučaju. Svaki vektor je slobodan, pa ga po želji ili potrebi možemo lako odmaknuti od neke druge točke na ravnini. Zanimljivo je da za vektore uopće ne morate graditi osi ili pravokutni koordinatni sustav; potrebna vam je samo baza, u ovom slučaju ortonormirana baza ravnine.

Čini se da su zapisi koordinata točaka i koordinata vektora slični: , i značenje koordinata apsolutno drugačiji, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ta se razlika, naravno, odnosi i na prostor.

Dame i gospodo, napunimo ruke:

Primjer 2

a) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Pronađite vektore .

Možda je to dovoljno. Ovo su primjeri za koje se sami odlučite, pokušajte ih ne zanemariti, isplatit će vam se ;-). Nema potrebe za izradom crteža. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Što je važno pri rješavanju problema analitičke geometrije? Važno je biti IZUZETNO OPREZAN kako biste izbjegli majstorsku pogrešku "dva plus dva jednako je nula". Ispričavam se odmah ako sam negdje pogriješio =)

Kako pronaći duljinu segmenta?

Duljina je, kao što je već navedeno, označena znakom modula.

Ako su dane dvije točke ravnine i , tada se duljina segmenta može izračunati pomoću formule

Ako su dane dvije točke u prostoru i , tada se duljina segmenta može izračunati pomoću formule

Bilješka: Formule će ostati točne ako se odgovarajuće koordinate zamijene: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Otopina: prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Radi jasnoće, napravit ću crtež

Segment – ovo nije vektor, i, naravno, ne možete ga nikamo premjestiti. Osim toga, ako crtate u mjerilu: 1 jedinica. = 1 cm (dvije ćelije bilježnice), tada se dobiveni odgovor može provjeriti običnim ravnalom izravnim mjerenjem duljine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali u njemu postoji nekoliko važnijih točaka koje bih želio razjasniti:

Prvo, u odgovor smo stavili dimenziju: “jedinice”. Uvjet ne kaže ŠTO je to, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga bi matematički ispravno rješenje bila opća formulacija: "jedinice" - skraćeno "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani zadatak:

Imajte na umu važno tehnička tehnika – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat izračuna, imamo rezultat, a dobar matematički stil uključuje uklanjanje faktora ispod korijena (ako je moguće). Detaljnije proces izgleda ovako: . Naravno, ostaviti odgovor onakvim kakav jest ne bi bila greška - ali bi svakako bila mana i težak argument za zamjerku od strane nastavnika.

Evo drugih uobičajenih slučajeva:

Često korijen proizvodi prilično veliki broj, na primjer. Što učiniti u takvim slučajevima? Pomoću kalkulatora provjeravamo je li broj djeljiv s 4: . Da, bio je potpuno podijeljen, dakle: . Ili se možda broj opet može podijeliti sa 4? . Stoga: . Posljednja znamenka broja je neparna, pa dijeljenje s 4 treći put očito neće uspjeti. Pokušajmo podijeliti s devet: . Kao rezultat toga:
Spreman.

Zaključak: ako ispod korijena dobijemo broj koji se ne može izvući kao cjelinu, onda faktor pokušavamo izbaciti ispod korijena - kalkulatorom provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Pri rješavanju raznih zadataka često se susreću korijeni; uvijek pokušajte izvući faktore ispod korijena kako biste izbjegli nižu ocjenu i nepotrebne probleme s dovršavanjem rješenja na temelju komentara nastavnika.

Ponovimo i kvadriranje korijena i druge potencije:

Pravila za radnje s diplomama u opći pogled mogu se pronaći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je iz navedenih primjera sve ili gotovo sve već jasno.

Zadatak za samostalno rješavanje segmentom u prostoru:

Primjer 4

Daju se bodovi i . Pronađite duljinu segmenta.

Rješenje i odgovor su na kraju lekcije.