Kako riješiti kubne jednadžbe. Kada je x nula

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što se dogodilo "kvadratna nejednakost"? Nema pitanja!) Ako uzmete bilo koji kvadratnu jednadžbu i u njoj zamijeni predznak "=" (jednak) bilo kojem znaku nejednakosti ( > ≥ < ≤ ≠ ), dobivamo kvadratnu nejednadžbu. Na primjer:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Pa, razumiješ...)

Nisam uzalud ovdje povezao jednadžbe i nejednadžbe. Poanta je da je prvi korak u rješavanju bilo koji kvadratna nejednakost - riješiti jednadžbu iz koje je ova nejednadžba sastavljena. Iz tog razloga, nemogućnost rješavanja kvadratnih jednadžbi automatski dovodi do potpunog neuspjeha u nejednadžbama. Je li savjet jasan?) Ako ništa drugo, pogledajte kako riješiti bilo koju kvadratnu jednadžbu. Tamo je sve detaljno opisano. A u ovoj lekciji ćemo se baviti nejednakostima.

Nejednadžba spremna za rješavanje ima oblik: s lijeve strane je kvadratni trinom sjekira 2 +bx+c, desno - nula. Znak nejednakosti može biti apsolutno bilo što. Prva dva primjera su ovdje već su spremni donijeti odluku. Treći primjer još treba pripremiti.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

U kubnoj jednadžbi najveći eksponent je 3, takva jednadžba ima 3 korijena (rješenja) i ima oblik . Neke kubne jednadžbe nije tako lako riješiti, ali ako koristite pravu metodu (s dobrom teoretskom pozadinom), možete pronaći korijene čak i najsloženije kubne jednadžbe - da biste to učinili, upotrijebite formulu za rješavanje kvadratne jednadžbe, pronaći cijele korijene ili izračunati diskriminant.

Koraci

Kako riješiti kubnu jednadžbu bez slobodnog člana

Saznajte ima li kubna jednadžba objašnjenje d (\displaystyle d) . Kubna jednadžba ima oblik a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). Da bi se jednadžba smatrala kubičnom, dovoljno je da sadrži samo član x 3 (\displaystyle x^(3))(odnosno, možda uopće nema drugih članova).

Zagrada van x (\displaystyle x) . Budući da u jednadžbi nema slobodnog člana, svaki član jednadžbe uključuje varijablu x (\displaystyle x). Ovo znači onaj x (\displaystyle x) može se izvući iz zagrada kako bi se jednadžba pojednostavila. Dakle, jednadžba će biti napisana ovako: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

Faktorirajte (umnožak dvaju binoma) kvadratnu jednadžbu (ako je moguće). Mnoge kvadratne jednadžbe oblika a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0) Može razložiti na činioce. Ovu ćemo jednadžbu dobiti ako izuzmemo x (\displaystyle x) izvan zagrada. U našem primjeru:

Rješite kvadratnu jednadžbu pomoću posebne formule. Učinite to ako se kvadratna jednadžba ne može rastaviti na faktore. Da biste pronašli dva korijena jednadžbe, vrijednosti koeficijenata a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) zamijeniti u formulu.

• U našem primjeru zamijenite vrijednosti koeficijenata a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) u formulu: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
• Prvi korijen: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
• Drugi korijen: 2 − 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

1. Koristite nulu i korijene kvadratne jednadžbe kao rješenja kubne jednadžbe. Kvadratne jednadžbe imaju dva korijena, dok kubne jednadžbe imaju tri. Već ste pronašli dva rješenja - to su korijeni kvadratne jednadžbe. Ako ste "x" izvadili iz zagrada, treće rješenje bi bilo .

   Kako pronaći cijele korijene koristeći faktore

   1. Provjerite postoji li presjek u kubnoj jednadžbi d (\displaystyle d) . Ako je u jednadžbi oblika a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0) imati besplatnog člana d (\displaystyle d)(što nije nula), stavljanje "x" izvan zagrada neće funkcionirati. U tom slučaju koristite metodu navedenu u ovom odjeljku.

      Zapišite faktore koeficijenata a (\displaystyle a) i besplatan član d (\displaystyle d) . Odnosno, pronađite faktore broja kada x 3 (\displaystyle x^(3)) i brojeve ispred znaka jednakosti. Podsjetimo se da su faktori broja brojevi koji, kada se pomnože, daju taj broj.

      Podijelite svaki faktor a (\displaystyle a) za svaki množitelj d (\displaystyle d) . Konačni rezultat bit će puno razlomaka i nekoliko cijelih brojeva; Korijeni kubne jednadžbe bit će jedan od cijelih brojeva ili negativna vrijednost jednog od cijelih brojeva.

      • U našem primjeru podijelite faktore a (\displaystyle a) (1 I 2 ) po faktorima d (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 I 6 ). Dobit ćete: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) i . Sada dodajte negativne vrijednosti dobivenih razlomaka i brojeva na ovaj popis: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) I − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Cjelobrojni korijeni kubne jednadžbe su neki brojevi s ovog popisa.

   2. Zamijenite cijele brojeve u kubnu jednadžbu. Ako je jednakost zadovoljena, zamijenjeni broj je korijen jednadžbe. Na primjer, zamijenite u jednadžbu 1 (\displaystyle 1):

      Koristiti metodu dijeljenja polinoma sa Hornerova shema za brzo pronalaženje korijena jednadžbe. Učinite to ako ne želite ručno umetati brojeve u jednadžbu. U Hornerovoj shemi, cijeli brojevi se dijele s vrijednostima koeficijenata jednadžbe a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) I d (\displaystyle d). Ako su brojevi djeljivi cijelim brojem (tj. ostatak je), cijeli broj je korijen jednadžbe.

Broj e je važna matematička konstanta koja je osnova prirodnog logaritma. Broj e približno jednako 2,71828 s ograničenjem (1 + 1/n)n na n , težeći beskonačnosti.

Unesite vrijednost x da biste pronašli vrijednost eksponencijalne funkcije pr

Za izračunavanje brojeva slovom E koristite kalkulator za pretvorbu eksponencijalnog u cijeli broj

Prijavi grešku

‘; setTimeout(function() ( $('form:first:button:first, #form_ca:first:button:first, form:first:submit:first, #form_ca:first:submit:first').css(('display) ':'inline-block')); $("#boxadno").remove(); $('form:first:button:first, #form_ca:first:button:first, form:first:submit:first, #form_ca:first:submit:first').click(); $('form:first:button:first, #form_ca:first:button:first, form:first:submit:first, #form_ca:first:submit: prvi').css(('display':'none')); $('form:first:button:first, #form_ca:first:button:first, form:first:submit:first, #form_ca:first: submit:first').parent().prepend()); ) Je li vam ovaj kalkulator pomogao?
Podijelite ovaj kalkulator sa svojim prijateljima na forumu ili online.

ovako Vas hoćete li pomoći Nas u razvoju novi kalkulatori i rafiniranje starih.

Kalkulator za algebru

Broj e je važna matematička konstanta koja leži u osnovi prirodnog logaritma.

0,3 na potenciju x puta 3 na potenciju x su isti

Broj e je približno 2,71828 s granicom (1 + 1/n)n za n koja ide u beskonačnost.

Ovaj broj se također naziva Eulerov broj ili Napierov broj.

Eksponencijal - eksponencijalna funkcija f (x) = exp (x) = ex, gdje je e Eulerov broj.

Unesite vrijednost x da biste pronašli vrijednost eksponencijalne funkcije ex

Izračunavanje vrijednosti eksponencijalne funkcije u mreži.

Kada Eulerov broj (e) poraste na nulu, odgovor je 1.

Kada podignete na više od jedne razine, odgovor će biti veći od originala. Ako je brzina veća od nule, ali manja od 1 (na primjer, 0,5), odgovor će biti veći od 1, ali manji od izvornog (oznaka E). Kada indikator poraste na negativnu potenciju, 1 se mora podijeliti s brojem e po zadanoj potenciji, ali s predznakom plus.

Definicije

izlagač Ovo je eksponencijalna funkcija y (x) = e x, čija se derivacija podudara sa samom funkcijom.

Indikator je označen kao, ili.

Broj e

Baza eksponenta je broj e.

Ovo je iracionalan broj. Otprilike je isto
e ≈ 2,718281828459045 …

Broj e je određen izvan granice niza. Ovo je takozvana druga izvanredna granica:
.

Broj e također se može prikazati kao niz:
.

Eksponencijalni graf

Grafikon prikazuje eksponent, e u tijeku X.
y(x) = pr
Grafikon pokazuje da raste monotono eksponencijalno.

formula

Osnovne formule su iste kao za eksponencijalnu funkciju s osnovnom razinom e.

Izraz eksponencijalnih funkcija s proizvoljnom bazom a u smislu eksponencijala:
.

također odjel "Eksponencijalna funkcija" >>>

Privatne vrijednosti

Neka je y(x) = e x.

5 na potenciju x i jednako je 0

Eksponencijalna svojstva

Indikator ima svojstva eksponencijalne funkcije s bazom stupnja e> prvi

Polje definicije, skup vrijednosti

Za x se određuje pokazatelj y (x) = e x.
Njegov volumen:
— ∞ < x + ∞.
Njegovo značenje:
0 < Y < + ∞.

Ekstremi, povećanje, smanjenje

Eksponencijal je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema.

Njegova glavna svojstva prikazana su u tablici.

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost je prirodni logaritam.
;
.

Derivati ​​indikatora

izvedenica e u tijeku X Ovaj e u tijeku X :
.
Izvedeni N-redoslijed:
.
Izvršavanje formula >>>

sastavni

također odjeljak "Tablica neodređenih integrala" >>>

Kompleksni brojevi

Operacije sa kompleksni brojevi izvode se pomoću Eulerova formula:
,
gdje je imaginarna jedinica:
.

Izrazi preko hiperboličkih funkcija

Izrazi koji koriste trigonometrijske funkcije

Proširenje potencijskih nizova

Kada je x jednak nuli?

Obični ili online kalkulator

Obični kalkulator

Standardni kalkulator pruža vam jednostavne operacije kalkulatora poput zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja.

Možete koristiti brzi matematički kalkulator

Znanstveni kalkulator omogućuje vam izvođenje složenijih operacija kao i kalkulator kao što je sinus, kosinus, inverzni sinus, inverzni kosinus koji je tangens, tangens, eksponent, eksponent, logaritam, kamata i također poslovanje u memorijskom kalkulatoru temeljenom na webu.

Možete unijeti izravno s tipkovnice, prvo kliknite na područje pomoću kalkulatora.

Izvodi jednostavne numeričke operacije kao i one složenije kao npr
online matematički kalkulator.
0 + 1 = 2.
Evo dva kalkulatora:

1. Prvo izračunajte kao i obično
2. Drugi to računa kao inženjering

Pravila se primjenjuju na kalkulator izračunat na poslužitelju

Pravila za unos pojmova i funkcija

Zašto mi treba ovaj online kalkulator?

Online kalkulator - po čemu se razlikuje od običnog kalkulatora?

Prvo, standardni kalkulator nije prikladan za prijevoz, a drugo, sada je Internet gotovo posvuda, to ne znači da postoje problemi, idite na našu web stranicu i koristite web kalkulator.
Online kalkulator - po čemu se razlikuje od java kalkulatora, kao i od drugih kalkulatora za operativni sustavi?

- opet - mobilnost. Ako ste na drugom računalu, ne morate ga ponovno instalirati
Dakle, koristite ovu stranicu!

Izrazi se mogu sastojati od funkcija (navedenih abecednim redom):

apsolutni (x) Apsolutna vrijednost X
(modul X ili | x |) arccos(x) Funkcija - arcoxin iz Xarccosh(x) Arksozin je hiperbolika od Xarcsin(x) Odvojeni sin Xarcsinh(x) HyperX hiperbolični Xarctg(x) Funkcija je arktangens od Xarctgh(x) Arktangens je hiperboličan Xee broj - oko 2,7 exp(x) Funkcija - indikator X(Kako e^X) log(x) ili ln(x) Prirodni logaritam X
(Da log7(x) Morate unijeti log(x) / log(7) (ili na primjer, log10(x)= log(x)/log(10)) pi Broj "Pi", koji je oko 3,14 grijeh(x) Funkcija - sinus Xcos(x) Funkcija - Konus od Xsinh(x) Funkcija - Hiperbolički sinus Xcosh(x) Funkcija - kosinus-hiperbolička Xsqrt(x) Funkcija je kvadratni korijen od Xsqr(x) ili x^2 Funkcija - kvadrat Xtg(x) Funkcija - Tangenta iz Xtgh(x) Funkcija je hiperbolička tangenta iz Xcbrt(x) Funkcija je kubni korijen Xtlo (x) Funkcija zaokruživanja X na donjoj strani (primjer tla (4.5) == 4.0) znak (x) Funkcija - simbol Xerf(x) Funkcija pogreške (Laplaceov ili integral vjerojatnosti)

Sljedeće operacije mogu se koristiti u terminima:

Realni brojevi unesite u obrazac 7,5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- podjela x^3— eksponencijacija x+7- Osim toga, x - 6— odbrojavanje

Preuzmite PDF

Eksponencijalne jednadžbe su jednadžbe oblika

x je nepoznati eksponent,

a I b- neki brojevi.

Primjeri eksponencijalne jednadžbe:

I jednadžbe:

više neće biti indikativno.

Pogledajmo primjere rješavanja eksponencijalnih jednadžbi:

Primjer 1.
Pronađite korijen jednadžbe:

Reducirajmo potencije na istu bazu kako bismo iskoristili svojstvo potencija s realnim eksponentom

Tada će biti moguće ukloniti bazu stupnja i prijeći na jednakost eksponenata.

Transformirajmo lijevu stranu jednadžbe:

Transformirajmo desnu stranu jednadžbe:

Korištenje svojstva stupnja

Odgovor: 4.5.

Primjer 2.
Riješite nejednadžbu:

Podijelimo obje strane jednadžbe s

Obrnuta zamjena:

Odgovor: x=0.

Riješite jednadžbu i pronađite korijene na zadanom intervalu:

Sve pojmove svodimo na istu bazu:

Zamjena:

Korijene jednadžbe tražimo odabirom višekratnika slobodnog člana:

– prikladan, jer

jednakost je zadovoljena.
– prikladan, jer

Kako riješiti? e^(x-3) = 0 e na potenciju x-3

jednakost je zadovoljena.
– prikladan, jer jednakost je zadovoljena.
– nije prikladno, jer jednakost nije zadovoljena.

Obrnuta zamjena:

Broj postaje 1 ako je njegov eksponent 0

Nije prikladno jer

Desna strana je jednaka 1, jer

Odavde:

Riješite jednadžbu:

Zamjena: , zatim

Obrnuta zamjena:

1 jednadžba:

ako su baze brojeva jednake, tada će i njihovi eksponenti biti jednaki

2 jednadžba:

Logaritmirajmo obje strane na bazu 2:

Eksponent dolazi ispred izraza, jer

Lijeva strana je 2x, jer

Odavde:

Riješite jednadžbu:

Preobrazimo lijevu stranu:

Stupnjeve množimo pomoću formule:

Pojednostavimo: prema formuli:

Predstavimo ga u obliku:

Zamjena:

Pretvorimo razlomak u nepravi:

a2 - nije prikladno, jer

Obrnuta zamjena:

Prijeđimo na općenito:

Ako

Odgovor: x=20.

Riješite jednadžbu:

O.D.Z.

Transformirajmo lijevu stranu pomoću formule:

Zamjena:

Izračunavamo korijen diskriminante:

a2-nije prikladan, jer

ali ne prihvaća negativne vrijednosti

Prijeđimo na općenito:

Ako

Kvadriramo obje strane:

Urednici članka: Gavrilina Anna Viktorovna, Ageeva Lyubov Aleksandrovna

Povratak na teme

Prijevod velikog članka “An Intuitive Guide to Exponential Functions & e”

Broj e oduvijek me uzbuđivao - ne kao slovo, već kao matematička konstanta.

Što zapravo znači broj e?

Razne matematičke knjige, pa čak i moja voljena Wikipedia opisuju ovu veličanstvenu konstantu potpuno glupim znanstvenim žargonom:

Matematička konstanta e je baza prirodnog logaritma.

Ako vas zanima što je prirodni logaritam, pronaći ćete sljedeću definiciju:

Prirodni logaritam, ranije poznat kao hiperbolički logaritam, je logaritam s bazom e, gdje je e iracionalna konstanta približno jednaka 2,718281828459.

Definicije su, naravno, točne.

No, vrlo ih je teško razumjeti. Naravno, Wikipedia nije za to kriva: obično su matematička objašnjenja suhoparna i formalna, sastavljena u skladu s punom strogošću znanosti. To početnicima otežava svladavanje predmeta (a svi su u jednom trenutku bili početnici).

dosta mi je! Danas dijelim svoje vrlo inteligentne misli o... koji je broj e, i zašto je to tako cool! Ostavite svoje debele, zastrašujuće knjige iz matematike na stranu!

Broj e nije samo broj

Opisivanje e kao "konstante približno jednake 2,71828..." je kao da pi nazivamo "iracionalnim brojem približno jednakim 3,1415...".

To je nedvojbeno točno, ali poanta nam još uvijek izmiče.

Pi je omjer opsega i promjera, isti za sve krugove. Ovo je temeljna proporcija zajednička svim krugovima i stoga je uključena u izračunavanje opsega, površine, volumena i površine za krugove, sfere, cilindre itd.

Pi pokazuje da su sve kružnice povezane, a da ne spominjemo trigonometrijske funkcije izvedene iz kružnica (sinus, kosinus, tangens).

Broj e je osnovni omjer rasta za sve kontinuirano rastuće procese. Broj e omogućuje vam da uzmete jednostavnu stopu rasta (gdje je razlika vidljiva tek na kraju godine) i izračunate komponente ovog pokazatelja, normalnog rasta, u kojem sa svakom nanosekundom (ili čak brže) sve malo raste više.

Broj e uključen je iu sustave eksponencijalnog i stalnog rasta: stanovništvo, radioaktivni raspad, izračun postotaka i mnogi, mnogi drugi.

Čak i sustavi stupnjeva koji ne rastu ravnomjerno mogu se aproksimirati pomoću broja e.

Baš kao što se bilo koji broj može smatrati "razmjernom" verzijom 1 (osnovne jedinice), bilo koji krug se može smatrati "razmjernom" verzijom jedinične kružnice (s radijusom 1).

Dana je jednadžba: e na potenciju x = 0. Čemu je jednako x?

Svaki čimbenik rasta može se smatrati "razmjernom" verzijom e (faktor rasta "jedinice").

Dakle, broj e nije nasumično uzet broj. Broj e utjelovljuje ideju da su svi kontinuirano rastući sustavi skalirane verzije iste metrike.

Koncept eksponencijalnog rasta

Započnimo promatranjem osnovnog sustava koji se udvostručuje tijekom određenog vremenskog razdoblja.

Na primjer:

• Bakterije se dijele i "udvostručuju" u broju svaka 24 sata
• Duplo više jufki dobijemo ako ih prepolovimo
• Vaš se novac udvostručuje svake godine ako ostvarite 100% profit (sretno!)

I izgleda otprilike ovako:

Dijeljenje s dva ili udvostručenje je vrlo jednostavan napredak. Naravno, možemo utrostručiti ili učetverostručiti, ali udvostručenje je zgodnije za objašnjenje.

Matematički gledano, ako imamo x podjela, na kraju ćemo imati 2^x puta više dobra nego što smo počeli.

Ako se napravi samo 1 particija, dobit ćemo 2^1 puta više. Ako postoje 4 particije, dobivamo 2^4=16 dijelova. Opća formula izgleda ovako:

Drugim riječima, udvostručenje je povećanje od 100%.

Ovu formulu možemo prepisati ovako:

visina = (1+100%)x

Ovo je ista jednakost, samo smo "2" podijelili na sastavne dijelove, što je u biti ovaj broj: početna vrijednost (1) plus 100%. Pametno, zar ne?

Naravno, možemo zamijeniti bilo koji drugi broj (50%, 25%, 200%) umjesto 100% i dobiti formulu rasta za ovaj novi koeficijent.

Opća formula za x razdoblja vremenske serije bit će:

rast = (1+rast)x

To jednostavno znači da koristimo stopu povrata, (1 + dobit), "x" puta zaredom.

Pogledajmo pobliže

Naša formula pretpostavlja da se rast odvija u diskretnim koracima. Naše bakterije čekaju i čekaju, a onda bam!, au zadnjem se trenutku udvostruče. Naš profit od kamata na depozit magično se pojavljuje za točno 1 godinu.

Na temelju gore napisane formule, profit raste u koracima. Zelene točkice se pojavljuju iznenada.

Ali svijet nije uvijek takav.

Ako povećamo, možemo vidjeti da se naši prijatelji bakterije neprestano dijele:

Zeleni tip ne nastaje ni iz čega: on polako izrasta iz plavog roditelja. Nakon 1 vremenskog perioda (u našem slučaju 24 sata), zeleni prijatelj je već potpuno zreo. Nakon što je sazrio, on postaje punopravni plavi član krda i može sam stvarati nove zelene stanice.

Hoće li ova informacija na bilo koji način promijeniti našu jednadžbu?

U slučaju bakterija, napola formirane zelene stanice još uvijek ne mogu ništa dok ne odrastu i potpuno se odvoje od svojih plavih roditelja. Dakle, jednadžba je točna.

U sljedećem članku ćemo pogledati primjer eksponencijalnog rasta vašeg novca.