Relativna pozicija dvije linije u prostoru prezentacije. Relativni položaj linija u prostoru


  • 1.Paralelne linije
  • 2. Prave koje se seku
  • 3. Ukrštanje linija

  • 1) Paralelne prave su prave koje leže u istoj ravni i ili se poklapaju ili se ne seku.

  • 2) Znakovi paralelizma:
  • I. Dvije prave paralelne s trećom su paralelne.
  • II. Ako su unutrašnji poprečni uglovi jednaki, tada su prave paralelne
  • III. Ako je zbir unutrašnjih jednostranih uglova 180°, tada su prave paralelne.
  • IV. Ako su odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne.

  • Kaže se da se dvije prave seku ako imaju zajedničku tačku.

  • Prave se nazivaju ukrštanjem ako jedna od pravih leži u ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne pripada prvoj liniji.

  • 1) Paralelne ravni
  • 2) Sekuće ravni

  • Ravnine koje nemaju zajedničke tačke nazivaju se paralelne

  • Kaže se da se ravnine seku ako imaju zajedničke tačke


  • Prava i ravan se nazivaju paralelne ako se ne seku i nemaju zajedničke tačke

  • Za ravan i prava se kaže da se seku ako imaju zajedničku tačku preseka

  • Prava koja seče ravan naziva se okomita na ovu ravan ako je okomita na svaku pravu koja leži u datoj ravni i prolazi kroz tačku preseka.

Odgovorite na pitanja:

Da

  • Mogu li prava i ravan imati zajedničke tačke?
  • Da li je tačno da ako se dve prave ne seku, onda su paralelne?
  • Avioni α I β paralelna, prava t leži u ravni α . Da li je tačno da je prava t paralelna sa ravninom β ?
  • Da li je tačno da ako je prava a paralelna sa jednom od dve paralelne ravni, prava a ima jednu zajedničku tačku sa drugom ravninom?
  • Da li je tačno da su ravni paralelne ako je prava koja leži u jednoj ravni paralelna drugoj ravni?

br

Da

br

br


Rješavanje problema

tačke E, F,M,N - sredina rebara.

1). dokazati: E.F. ll MN ;

2). Odredite relativni položaj linija DC I AB


Dato: α || β

AO = 5,

OB = 4,

OA 1 = 3,

A 1 IN 1 = 6.

Pronađite: AB i OB 1

A 1

B 1


Paralepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

№ 6

B 1

C 1

Presjek prolazi kroz tačke M, N i P koje leže na rubovima BC, AD i AA 1, redom.

A 1

D 1


Tetrahedron DABC

№ 2

Presjek prolazi kroz tačku M koja leži na ivici DA, paralelno sa licem ABC.


Pronađite: površinu poprečnog presjeka tetraedra s rubom jednakim 3 cm, ako je tačka M sredina ivice DA.


Odredite relativni položaj linija.

B 1

C 1

D 1

A 1


B 1

C 1

A 1

D 1


C 1

B 1

D 1

A 1


B 1

C 1

D 1

A 1


B 1

C 1

D 1

A 1


Odrediti relativne položaje pravih linija i ravni.

B 1

C 1

D 1

A 1


B 1

C 1

D 1

A 1


B 1

C 1

D 1

A 1


B 1

C 1

D 1

A 1


B 1

C 1

D 1

A 1


Odrediti relativni položaj ravnina.

B 1

C 1

D 1

A 1


B 1

C 1

D 1

A 1


B 1

C 1

D 1

A 1


B 1

C 1

D 1

A 1


  • Oni se ukrštaju.
  • Intersect.
  • Paralelno.
  • Oni se ukrštaju.
  • Intersect.

  • Paralelno.
  • Intersect.
  • Intersect.
  • Paralelno.

  • Paralelno.
  • Intersect.
  • Paralelno.

  • domaći zadatak:
  • 1. priprema za test str. 35-36 “Testiraj se”
Bilješke o lekcijama iz geometrije, 10. razred (Atanasyan L.S.)

Rješavanje problema na temu"Paralelnost pravih i ravni. Relativni položaj linija u prostoru"

Ciljevi lekcije:

a) obrazovni:

    ponoviti teorijski materijal na temu „Paralelizam pravih i ravnih. Relativni položaj linija u prostoru";

    Ojačati vještine:rješavati dokazne zadatke na osnovu preciznih argumenata (poznavanje teorijskog materijala);

    pri rješavanju stereometrijskih zadataka primijeniti znanja stečena izučavanjem planimetrije;

    Kada dovršavate crtež za zadatak, uzmite u obzir jasnoću i pravila za prikazivanje prostornih figura

b) razvijanje: razvoj vještina

    samostalan rad,

    prostorno razmišljanje, logičko mišljenje;

c) obrazovni: obrazovati studente

    sposobnost da slušaju jedni druge, postavljaju pitanja i razumno procjenjuju odgovore;

    interesovanje za predmet

Vrsta lekcije: lekcija o usavršavanju znanja, vještina i sposobnosti

Oprema: kompjuter, projektor, prezentacija

Napredak lekcije.

    Organizacioni momenat. Provjera spremnosti za lekciju.

    Motivacija za lekciju.

Slajd 3. Geometrija je puna avanture jer iza svakog problema leži avantura misli. Rješavanje problema znači doživjeti avanturu.

(V. Proizvolov). Danas ćemo na času doživjeti mnoge avanture.

    Ažuriranje osnovnih znanja.

Slajd 4. Prilikom proučavanja stereometrije veoma je važno biti u stanju gledati i vidjeti, uočiti i razlikovati, prikazati i pogoditi. Prilikom rješavanja stereometrijskih problema naučit ćemo vidjeti „neočigledno“. Počinjemo sa ponavljanjem.

Navedite osnovne figure stereometrije.

Formulirati metode za definiranje ravni.

Slajd 5.

- Formulirajte definiciju prave paralelne ravni.

- Formulirajte znak paralelizma između prave i ravni.

Navedite važan zaključak o dvije ravni koje se seku, od kojih jedna sadrži pravu paralelnu drugoj ravni.

Navedite slučajeve relativnih položaja linija u prostoru.

Formulirajte definiciju paralelnih i kosih linija.

Formulirajte znak linija koje se seku.

Formulirajte definiciju ugla između dvije prave koje se sijeku.

Koji ugao se naziva ugao između linija koje se seku?

Slajd 7.8. Usmeni rad. Zadatak 1.

1) S obzirom na: tačke A, B, C, D ne pripadaju istoj ravni.

Dokazati: bilo koje tri tačke su vrhovi trougla.

Prvo, jedan učenik kaže rješenje zadatka, a zatim pokazuje kako se rješenje napisati u pisanoj formi. Jer Budući da se kontradiktorna metoda često susreće pri rješavanju prvih stereometrijskih problema, potrebno je još jednom demonstrirati algoritam za primjenu ove metode.

Slajd 9. Zadatak 2.

Jer Na prvim časovima stereometrije učenicima je teško zapisati rješenja zadataka, a nakon usmenog rješavanja zadatka pokazuje se kako mogu zapisati rješenje ovog zadatka pomoću geometrijskih znakova i matematičkih zapisa.

Slajd 10. Zadatak 3. Pronađite ugao između linija koje se seku.

Koliki je ugao između dve prave koje se seku?

    Rješavanje problema.

Slajd 11. Rešite sami u svojim sveskamazadatak 1 .

Možete pozvati učenika na ploču da riješi problem na dijelu ploče koji je zatvoren za učenike.

Slajd 12. Učenici zatim diskutuju i provjeravaju rješenje.

Slajd 13. Zadatak 2. By ovo stanje napraviti crtež, kreirati verbalni model problema i odrediti vrijednost koja se može naći prema ovom uvjetu.

Učenik se poziva na ploču i rješava problem uz najmanju pomoć nastavnika. Nakon što je zadatak riješen na tabli, nastavnik pokazuje kako se rješenje može zapisati. Diskusija.

Slajd 14. Zadatak br. 3. Prava MK je paralelna sa stranicom CD romba ABCD i ne leži u ravni romba. a) Odrediti relativni položaj pravih MK i BC b) Odrediti ugao između pravih MK i BC ako

Prvo se sa razredom razgovara o crtežu problema i rješenju. Učenici zatim zapisuju svoje rješenje. Gotov crtež za zadatak možete ostaviti po potrebi. Nakon što je problem riješen, nastavnik pokazuje kako se rješenje može zapisati.

    Sumiranje.

Učenici navode koje su teorijske informacije korištene za rješavanje problema.

    Refleksija

7) Domaći.

Ponovite korake 1 – 9.

Riješi br. 45 (a), 46 (a), 38 (a).

Ponavljanje br. 11,23,26

Relativni položaj pravih linija i ravni u prostoru

Slajd 2

Sve konstrukcije na ravni su napravljene pomoću alata za crtanje i konstrukcije su tačne, ali konstrukcije u prostoru mogu se izvoditi šematski. Stoga se pojmovi „nacrtaj ravan (pravu)“ koriste u smislu „dokazati postojanje ravni (prave)“ koja zadovoljava navedene uslove.

Slajd 3: Moguće lokacije linija u prostoru:

Slajd 4

4 b a b Tri slučaja relativnih položaja pravih u prostoru n m l p n m l p II a

Slajd 5

prave linije u prostoru Imaju zajedničku tačku Nemaju zajedničke tačke seku se paralelno seku

Slajd 6

Definicija: Dvije prave se nazivaju paralelnim ako leže u istoj ravni i nemaju zajedničku tačku ili se poklapaju. Definicija: Za dvije prave se kaže da se sijeku ako se ne sijeku ili su paralelne. Definicija: Dvije prave se nazivaju ukrštanjem ako leže u istoj ravni i imaju jednu zajedničku tačku.

Slajd 7: Zadatak: Kroz datu tačku K povući pravu paralelnu sa datom pravom a

Dato: K  a Dokažite:  ! b: K  b, b  a Dokaz: Konstrukcija 1. Provucimo ravan α kroz pravu a itd. K. (prema Sl.1) 2. Povučemo pravu liniju b, b  a kroz tačku K u ravnini α (A planimetrija) Jedinstvenost (protivrječno) 1. Neka je  b 1: K  b 1,. b 1  a. Kroz prave a i b 1 može se povući ravan α 1 (prema Sl. 3) 2. Prava a, jer je  α 1 ;  α 1 = α (po tački i pravoj u prostoru) (SL.1). 3.  b = b 1 (A paralelne prave). Teorema je dokazana. Za a b

Slajd 8

TEOREMA 1. Ako jedna od dvije prave leži u ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne pripada prvoj pravoj, tada se te prave seku. Napomena: ravan se ne može povući kroz linije koje se seku. Dato: Dokazati: a A


Slajd 9

II. Relativni položaj prave i ravni. Prava linija leži u ravni. Prava linija seče ravan. Prava linija ne seče ravan. Mnogo zajedničkih tačaka. Jedina zajednička tačka. Nema zajedničkih tačaka. g a g a M g a a Ì g a Ç g = M a Ë g

10

Slajd 10

a c Relativni položaj prave i ravni u prostoru.  b K

11

Slajd 11

Definicija. Prava i ravan se nazivaju paralelne ako nemaju zajedničku tačku ili prava leži u ravni. Hajde da razmotrimo sledeći znak paralelizam između prave i ravni

12

Slajd 12

TEOREMA 2. Ako je prava paralelna nekoj pravoj koja leži u ravni, tada su data prava i ravan paralelne. Dato: Dokaži:

13

Slajd 13

TEOREMA 3 (inverzna) Ako ravan prolazi kroz pravu paralelnu drugoj ravni i seče ovu ravan, tada je linija preseka ravni paralelna sa ovom pravom. Dato:  β ∩ α = Dokazati:  Dokaz: 1) a, b  β a ne može ∩ b, jer inače a ∩ α, što je u suprotnosti sa uslovom. Stoga a  u α Teorema je dokazana.

14

Slajd 14

TEOREMA 4. Ako se kroz svaku od dvije paralelne prave povuče ravan, a te ravni se seku, onda je njihova presječna linija paralelna sa svakom od ovih pravih. Dato: Dokaz: Dokazati: a  b α  β = c c  a, c  b α Kroz a povlačimo α, kroz b – β, i α ∩ β = c Po kriteriju || prava i ravan a || β, zatim sa  a (T.3) Slično, c|| b

15

Slajd 15

Dokaz: Razmotrite slučaj. in, sa  β; a, c  α 1. Uzmimo t.M, M  a Kroz t.M i c crtamo ravan α, b i M crtamo ravan β; 2. T 4: α  β = MN (linija preseka ravni  b i c) 3. Kroz T.M je nemoguće povući dve različite prave s, pa se MN i a poklapaju. 4. Ali pošto (MN)  b, onda je a  b  u  c Teorema je dokazana. Teorema 5. Ako su dvije prave paralelne s trećom, onda su paralelne jedna s drugom. Dato: a  c, b  c Dokazati: a  b α M N

16

Slajd 16

i M Prava linija leži u ravni. Prava linija seče ravan Koliko tačaka imaju prava i ravan?

17

Slajd 17

Metode za definisanje ravni Slika Kako se ravan može jedinstveno definisati u prostoru? 1. Sa tri tačke 2. Pravom linijom i tačkom koja joj ne pripada. 3. Duž dvije linije koje se ukrštaju. 4. Duž dvije paralelne prave.

Relativni položaj linija i avioni V prostor

Dva ravno

Dva aviona

Pravo i ravno


Relativni položaj linija u prostoru

Nemate zajedničku tačku

nemaju zajedničku tačku

Imajte zajedničku tačku

leže u istoj ravni

leže u istoj ravni

ne leže u istoj ravni

križanje

paralelno

presecati

V

V

A

A

A

A

V


Zadana je kocka ABCDA 1B1C1D1

B 1

C 1

Molimo navedite:

  • Ivice koje leže na linijama paralelnim sa ivicom AA 1
  • Ivice koje leže na pravim linijama koje seku ivicu AA1
  • Prave linije koje se ukrštaju sa pravom linijom AA1

A 1

D 1

B

C

A

D


Zadata je piramida ABCD Navedite:

1.ravni u kojima leže prave PE, MK, DB, AB, EC;

2. tačke preseka prave DK sa ravni ABC, prave CE sa ravni ADB;

3. tačke koje leže u ravnima ADB i DBC;

4. prave duž kojih se seku ravni ABC i DCB, ABD i CDA, PDC i ABC.


Relativni položaj prave i ravni u prostoru

imaju mnogo zajedničkih tačaka

Imajte zajedničku tačku

Nemate zajedničkih tačaka

Prava linija leži u ravni

Prava linija seče ravan

Prava i ravan su paralelne

A

A

A

A

A

A ‖


S

Zadata je piramida ABCS

Molimo navedite:

1. Prave koje leže u BSC ravni

2. Prave koje seku ravan ABC

A

WITH

hajde da proverimo:

O

TO

1. SB,SC,BC,SK

2. SA, SB, SC, SK, SO

IN


Međusobni raspored aviona u prostoru

Postoje zajedničke tačke

Nema zajedničkih tačaka

ravni su paralelne

ravni se seku

With

‖

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com


Naslovi slajdova:

Relativni položaj linija u prostoru. Prelazak pravih linija. Opštinska obrazovna ustanova Srednja škola br. 63 Shipilova E.S.

Ciljevi lekcije: Uvesti definiciju kosih linija. Uvesti formulacije i dokazati znak i svojstva kosih linija.

Položaj pravih u prostoru: α α a b a b a ∩ b a || b Leže u istoj ravni!

A 1 B 1 D 1 A B D C 1 Zadata je kocka ABC DA 1 B 1 C 1 D 1 Da li su prave AA 1 i DD 1 paralelne? AA 1 i CC 1? Zašto? AA 1 || DD 1, kao suprotne strane kvadrata, leže u istoj ravni i ne sijeku se. AA 1 || DD 1; DD 1 || CC 1 →AA 1 || CC 1 teoremom o tri paralelne prave. 2. Da li su AA 1 i DC paralelni? Da li se ukrštaju? Dvije prave se nazivaju kosim ako ne leže u istoj ravni.

Znak ukrštanja linija. Ako jedna od dvije prave leži u određenoj ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne leži na prvoj liniji, tada se te prave sijeku. a b

Znak ukrštanja linija. Dato je: AB α, C D ∩ α = C, C AB. a b Dokaz: Pretpostavimo da C D i AB leže u istoj ravni. Neka je ovo β ravan. Dokazati da se AB ukršta sa C D A B C D α poklapa sa β Ravnine se poklapaju, što ne može biti slučaj, jer prava C D seče α. Ravan kojoj pripadaju AB i C D ne postoji i stoga, po definiciji pravih koje se seku, AB seče C D. Itd.

Pojačanje proučavane teoreme: C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D Odrediti relativni položaj pravih AB 1 i DC. 2. Označite relativni položaj prave DC i ravni AA 1 B 1 B 3. Da li je prava AB 1 paralelna ravni DD 1 C 1 C?

Teorema: Kroz svaku od dvije nagnute linije prolazi ravan paralelna drugoj ravni, i to samo jedna. Dato: AB je ukršteno sa C D. Konstrukcija α: AB α , C D || α. A B C D Kroz tačku A povučemo pravu liniju AE, AE || Sa D. E 2. Prave AB i AE seku se i formiraju ravan α. AB α , C D || α. α je jedina ravan. Dokažite da je α jedinstven. 3. Dokaz: α je jedina posljedica aksioma. Bilo koja druga ravan kojoj pripada AB siječe AE i, prema tome, pravu C D.

Zadatak. Konstruisati ravan α koja prolazi kroz tačku K i paralelna je sa ukrštanjem pravih a i b. Konstrukcija: Kroz tačku K povući pravu liniju a 1 || A. 2. Kroz tačku K povući pravu liniju b 1 || b. a b K a 1 b 1 3 . Nacrtajmo ravan α kroz linije koje se seku. α je željena ravan.

Problem br. 34. A B C D M N P P 1 K Dato je: D (ABC), AM = M D ; B N = ND; CP = PD K V N . Odrediti relativni položaj pravih: a) ND i AB b) RK i BC c) M N i AB

Problem br. 34. A B C D M N P K Dato: D (ABC), AM = M D ; B N = ND; CP = PD K V N . Odrediti relativne položaje pravih: a) ND i AB b) RK i BC c) M N i AB d) MR i A C e) K N i A C f) M D i B C

Zadatak br. 93 α a b M N Dato: a || b MN ∩ a = M Odrediti relativni položaj pravih MN u b . Ukrštanje.


Na temu: metodološke izrade, prezentacije i bilješke

Relativni položaj linija u prostoru

Svrha časa: 1. Ponoviti i uopštiti znanja na temu relativnog položaja pravih u prostoru.; sistematizovati stečena znanja.2. Razvijati mentalne sposobnosti, logičko razmišljanje i matematičar...

Majstorska klasa: "Aksiomi stereometrije. Relativni položaj linija u prostoru. Relativni položaj prave i ravni"

Majstorska klasa: "Aksiomi stereometrije. Relativni položaj pravih i ravni", prema E.V.Potoskuevu, L.I.

Prezentacija za čas uopštavanja i sistematizacije znanja i veština na temu "Relativni raspored pravih u prostoru. Paralelne prave" korišćenjem EOR-a.

Prateći čas uopštavanja i sistematizacije znanja i vještina na temu „Relativni položaj linija u prostoru. Paralelne linije" zasnovane na ESM-u. Sadrži karakteristike i linkove do...

Podijeli: