Tokom harmonijskih vibracija se mijenja. Oscilatorno kretanje

« Fizika - 11. razred"

Ubrzanje je drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme.

Trenutna brzina tačke je derivacija koordinata tačke u odnosu na vreme.
Ubrzanje tačke je izvod njene brzine u odnosu na vreme, ili drugi izvod koordinate u odnosu na vreme.
Prema tome, jednadžba gibanja klatna se može napisati na sljedeći način:

gdje je x" drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme.

Za slobodne oscilacije, koordinata X mijenja se s vremenom tako da je drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme direktno proporcionalan samoj koordinati i suprotan je predznakom.

Harmonične vibracije

Iz matematike: drugi izvod sinusa i kosinusa po svom argumentu su proporcionalni samim funkcijama, uzetim sa suprotnim predznakom, i nijedna druga funkcija nema ovo svojstvo.
zato:
Koordinata tijela koje vrši slobodne oscilacije mijenja se tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa.

Periodične promjene fizičke veličine u zavisnosti od vremena, koje se dešavaju prema zakonu sinusa ili kosinusa, nazivaju se harmonijske vibracije.

Amplituda oscilacije

Amplituda harmonijske oscilacije je modul najvećeg pomaka tijela iz njegovog ravnotežnog položaja.

Amplituda je određena početnim uslovima, tačnije energijom koja se prenosi na tijelo.

Grafikon tjelesnih koordinata u odnosu na vrijeme je kosinusni val.

x = x m cos ω 0 t

Zatim jednačina gibanja koja opisuje slobodne oscilacije klatna:

Period i frekvencija harmonijskih oscilacija.

Prilikom osciliranja, pokreti tijela se periodično ponavljaju.
Vremenski period T tokom kojeg sistem završava jedan potpuni ciklus oscilacija naziva se period oscilovanja.

Frekvencija oscilacije je broj oscilacija u jedinici vremena.
Ako se jedna oscilacija dogodi u vremenu T, tada je broj oscilacija u sekundi

U Međunarodnom sistemu jedinica (SI) jedinica frekvencije se naziva herca(Hz) u čast njemačkog fizičara G. Herca.

Broj oscilacija u 2π s jednak je:

Veličina ω 0 je ciklična (ili kružna) frekvencija oscilacija.
Nakon vremenskog perioda jednakog jednom periodu, oscilacije se ponavljaju.

Frekvencija slobodnih oscilacija se naziva prirodna frekvencija oscilatorni sistem.
Često se, ukratko, ciklična frekvencija jednostavno naziva frekvencijom.

Zavisnost frekvencije i perioda slobodnih oscilacija o svojstvima sistema.

1.za opružno klatno

Prirodna frekvencija oscilacije opružnog klatna jednaka je:

Što je veća krutost opruge k, to je veća, a što je manja, to je veća masa tijela m.
Kruta opruga daje telu veće ubrzanje, brže menja brzinu tela, a što je telo masivnije, sporije menja brzinu pod dejstvom sile.

Period oscilovanja je jednak:

Period oscilovanja opružnog klatna ne zavisi od amplitude oscilacija.

2.za navojno klatno

Prirodna frekvencija oscilacije matematičkog klatna pri malim uglovima odstupanja niti od vertikale zavisi od dužine klatna i ubrzanja gravitacije:

Period ovih oscilacija je jednak

Period oscilovanja niti klatna pri malim uglovima otklona ne zavisi od amplitude oscilacija.

Period oscilovanja se povećava sa povećanjem dužine klatna. Ne zavisi od mase klatna.

Što je g manji, duži je period oscilovanja klatna i, prema tome, sat klatna teče sporije. Tako će sat sa klatnom u obliku utega na štapu zaostajati za skoro 3 s dnevno ako se podigne iz podruma na gornji sprat Moskovskog univerziteta (visina 200 m). A to je samo zbog smanjenja ubrzanja slobodnog pada s visinom.

HARMONIČKO VIBRACIJSKO KRETANJE

§1 Kinematika harmonijskih oscilacija

Procesi koji se ponavljaju tokom vremena nazivaju se oscilacije.

U zavisnosti od prirode oscilatornog procesa i mehanizma pobude, razlikuju se: mehaničke vibracije (oscilacije klatna, struna, građevina, zemljine površine itd.); elektromagnetne oscilacije (oscilacije naizmenične struje, oscilacije vektora i u elektromagnetnom talasu, itd.); elektromehaničke vibracije (vibracije telefonske membrane, difuzora zvučnika, itd.); vibracije jezgara i molekula kao rezultat termičkog kretanja u atomima.

Razmotrimo segment [OD] (radijus vektor) koji vrši rotaciono kretanje oko tačke 0. Dužina |OD| = A . Rotacija se dešava sa konstantnom ugaonom brzinom ω 0. Zatim ugao φ između radijus vektora i osexmijenja se tokom vremena u skladu sa zakonom

gdje je φ 0 - ugao između [OD] i ose X u određenom trenutkut= 0. Projekcija segmenta [OD] na osu X u određenom trenutkut= 0

i to u proizvoljnom trenutku

(1)

Dakle, projekcija segmenta [OD] na osu x trpi oscilacije koje se javljaju duž ose X, a ove oscilacije su opisane kosinusnim zakonom (formula (1)).

Oscilacije koje se opisuju zakonom kosinusa

ili sinus

pozvao harmonično.

Harmonične vibracije su periodično, jer vrijednost x (i y) se ponavlja u pravilnim intervalima.

Ako je segment [OD] na najnižoj poziciji na slici, tj. dot D poklapa se sa tačkom R, tada je njegova projekcija na x os nula. Nazovimo ovu poziciju segmenta [OD] položajem ravnoteže. Tada možemo reći da je količina X opisuje pomak oscilirajuće tačke iz njenog ravnotežnog položaja. Maksimalni pomak iz ravnotežnog položaja se naziva amplituda fluktuacije

Magnituda

koja se nalazi pod kosinusnim znakom naziva se faza. Faza određuje pomak iz ravnotežnog položaja u proizvoljnom trenutkut. Faza u početnom trenutku vremenat = 0 , jednako φ 0 naziva se početna faza.

T

Vremenski period tokom kojeg se javlja jedna potpuna oscilacija naziva se period oscilovanja T. Broj oscilacija u jedinici vremena naziva se frekvencija oscilovanja ν.

Nakon vremenskog perioda koji je jednak periodu T, tj. kada se kosinusni argument poveća za ω 0 T, kretanje se ponavlja, a kosinus poprima svoju prethodnu vrijednost

jer period kosinusa je 2π, dakle, ω 0 T= 2π

dakle, ω 0 je broj oscilacija tijela u 2π sekundi. ω 0 - ciklička ili kružna frekvencija.

obrazac harmonične vibracije

A- amplituda, T- tačka, X- pomjeranje,t- vrijeme.

Pronalazimo brzinu oscilirajuće tačke diferenciranjem jednačine pomaka X(t) prema vremenu

one. brzina vrazličit u fazi od ofseta X onπ /2.

Ubrzanje je prvi izvod brzine (drugi izvod pomaka) u odnosu na vrijeme

one. ubrzanje A razlikuje se od pomaka faze za π.

Napravimo graf X( t) , y( t) I A( t) u jednoj koordinatnoj procjeni (radi jednostavnosti, uzmimo φ 0 = 0 i ω 0 = 1)

Besplatno ili vlastito nazivaju se oscilacije koje se javljaju u sistemu prepuštenom samom sebi nakon što je uklonjen iz ravnotežnog položaja.

Najjednostavniji tip oscilacija su harmonijske vibracije- oscilacije kod kojih se pomak oscilirajuće tačke iz ravnotežnog položaja mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili kosinusa.

Dakle, sa ravnomernom rotacijom lopte u krugu, njena projekcija (senka u paralelnim zracima svetlosti) vrši harmonijsko oscilatorno kretanje na vertikalnom ekranu (slika 13.2).

Pomak iz ravnotežnog položaja tokom harmonijskih vibracija opisuje se jednadžbom (naziva se kinematičkim zakonom harmonijskog kretanja) oblika:

\(x = A \cos \Bigr(\frac(2 \pi)(T)t + \varphi_0 \Bigl)\) ili \(x = A \sin \Bigr(\frac(2 \pi)(T) t + \varphi"_0 \Bigl)\)

Gdje X- pomak - veličina koja karakteriše položaj oscilirajuće tačke u trenutku t u odnosu na ravnotežni položaj i mjereno rastojanjem od ravnotežnog položaja do položaja tačke u datom trenutku; A- amplituda oscilacija - maksimalni pomak tijela iz ravnotežnog položaja; T- period oscilacije - vrijeme potrebno da se završi jedna potpuna oscilacija; one. najkraći vremenski period nakon kojeg se ponavljaju vrijednosti fizičkih veličina koje karakteriziraju oscilaciju; \(\varphi_0\) - početna faza; \(\varphi = \frac(2 \pi)(T)t + \varphi"_0\) - faza oscilacije u trenutku t. Faza oscilovanja je argument periodične funkcije, koja za datu amplitudu oscilovanja određuje stanje oscilatornog sistema (pomeraj, brzinu, ubrzanje) tela u bilo kom trenutku.

Ako u početnom trenutku vremena t0 = 0 oscilirajuća tačka je maksimalno pomjerena iz ravnotežnog položaja, tada je \(\varphi_0 = 0\), a pomak tačke iz ravnotežnog položaja mijenja se prema zakonu

\(x = A \cos \frac(2 \pi)(T)t.\)

Ako je oscilirajuća tačka u t 0 = 0 u stabilnom ravnotežnom položaju, tada se pomak tačke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

\(x = A \sin \frac(2 \pi)(T)t.\)

Veličina V, inverzno periodu i jednako broju kompletnih oscilacija izvršenih u 1 s se naziva frekvencija oscilovanja:

\(\nu = \frac(1)(T) \)(u SI jedinica frekvencije je herc, 1Hz = 1s -1).

Ako tokom vremena t telo radi N onda potpuno oklevanje

\(T = \frac(t)(N) ; \nu = \frac(N)(t).\)

Količina \(\omega = 2 \pi \nu = \frac(2 \pi)(T)\) koja pokazuje koliko oscilacija tijelo napravi u 2 \(\pi\) With, zvao ciklička (kružna) frekvencija.

Kinematički zakon harmonijskog kretanja može se zapisati kao:

\(x = A \cos(2\pi \nu t + \varphi_0), x = A \cos(\omega t + \varphi_0).\)

Grafički, zavisnost pomaka oscilirajuće tačke o vremenu je predstavljena kosinusnim talasom (ili sinusnim talasom).

Slika 13.3a prikazuje grafik vremenske zavisnosti pomaka oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja za slučaj \(\varphi_0=0\), tj. \(~x=A\cos \omega t.\)

Hajde da saznamo kako se brzina oscilirajuće tačke mijenja s vremenom. Da bismo to učinili, nalazimo vremenski izvod ovog izraza:

\(\upsilon_x = x" A \sin \omega t = \omega A \cos \Bigr(\omega t + \frac(\pi)(2) \Bigl) ,\)

gdje je \(~\omega A = |\upsilon_x|_m\) amplituda projekcije brzine na osu X.

Ova formula pokazuje da se tokom harmonijskih oscilacija projekcija brzine tijela na x-osu također mijenja prema harmonijskom zakonu sa istom frekvencijom, sa različitom amplitudom i ispred pomaka u fazi za \(\frac(\ pi)(2)\) (Sl. 13.3, b).

Da saznamo zavisnost ubrzanja sjekira(t) Nađimo vremenski izvod projekcije brzine:

\(~ a_x = \upsilon_x" = -\omega^2 A \cos \omega t = \omega^2 \cos(\omega t + \pi),\)

gdje je \(~\omega^2 A = |a_x|_m\) amplituda projekcije ubrzanja na osu X.

Za harmonijske vibracije, projekcija ubrzanje pomera fazni pomak za k (slika 13.3, c).

Slično, možete nacrtati zavisnosti \(~x(t), \upsilon_x (t)\) i \(~a_x(t),\) ako je \(~x = A \sin \omega t\) na \( \varphi_0 =0.\)

Uzimajući u obzir da je \(A \cos \omega t = x\), formula za ubrzanje se može napisati

\(~a_x = - \omega^2 x,\)

one. kod harmonijskih oscilacija, projekcija ubrzanja je direktno proporcionalna pomaku i suprotnog je predznaka, tj. ubrzanje je usmjereno u smjeru suprotnom od pomaka.

Dakle, projekcija ubrzanja je drugi izvod pomaka i x =x" ", tada se rezultujući odnos može napisati kao:

\(~a_x + \omega^2 x = 0\) ili \(~x"" + \omega^2 x = 0.\)

Posljednja jednakost se zove jednačina harmonijskih vibracija.

Fizički sistem u kojem mogu postojati harmonijske oscilacije naziva se harmonijski oscilator, a jednadžba harmonijskih vibracija je jednadžba harmonijskog oscilatora.

Književnost

Aksenovich L. A. Fizika u srednjoj školi: teorija. Zadaci. Testovi: Udžbenik. dodatak za ustanove koje pružaju opšte obrazovanje. okoliš, obrazovanje / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - P. 368-370.

1.18. HARMONIČKE VIBRACIJE I NJIHOVE KARAKTERISTIKE

Definicija harmonijskih vibracija. Karakteristike harmonijskih oscilacija: pomak iz ravnotežnog položaja, amplituda oscilacija, faza oscilovanja, frekvencija i period oscilacija. Brzina i ubrzanje oscilirajuće tačke. Energija harmonijskog oscilatora. Primjeri harmonijskih oscilatora: matematički, opružni, torzijski i fizički Kineska klatna.

Akustika, radiotehnika, optika i druge grane nauke i tehnologije zasnivaju se na proučavanju oscilacija i talasa. Teorija vibracija igra važnu ulogu u mehanici, posebno u proračunima čvrstoće aviona, mostova i određenih vrsta mašina i komponenti.

Oscilacije su procesi koji se ponavljaju u pravilnim intervalima (i nisu svi procesi koji se ponavljaju oscilacije!). Ovisno o fizičkoj prirodi procesa koji se ponavlja, vibracije se razlikuju mehaničke, elektromagnetne, elektromehaničke itd. Tokom mehaničkih vibracija, položaji i koordinate tijela se periodično mijenjaju.

obnavljajuća sila - sila pod čijim uticajem nastaje oscilatorni proces. Ova sila teži da vrati tijelo ili materijalnu tačku, otklone od svog položaja mirovanja, u prvobitni položaj.

U zavisnosti od prirode uticaja na oscilirajuće tijelo, razlikuje se slobodne (ili prirodne) vibracije i prisilne vibracije.

U zavisnosti od prirode uticaja na oscilacioni sistem, razlikuju se slobodne oscilacije, prisilne oscilacije, autooscilacije i parametarske oscilacije.

Besplatno (vlastiti) oscilacije su one oscilacije koje se javljaju u sistemu prepuštenom samom sebi nakon što mu je dat pritisak, ili je uklonjen iz ravnotežnog položaja, tj.

· kada na oscilirajuće tijelo djeluje samo povratna sila. Primjer je oscilacija lopte okačene na niti. Da biste izazvali vibracije, morate ili gurnuti loptu ili je, pomjerajući je u stranu, pustiti. U slučaju da ne dođe do disipacije energije, slobodne oscilacije se ne prigušuju. Međutim, stvarni oscilatorni procesi su prigušeni, jer tijelo koje oscilira podložno je silama otpora kretanju (uglavnom silama trenja). Prisilno

· nazivaju se takve oscilacije, tokom kojih je oscilirajući sistem izložen vanjskoj sili koja se periodično mijenja (na primjer, oscilacije mosta koje nastaju kada ljudi hodaju po njemu, hodajući u korak). U mnogim slučajevima, sistemi prolaze kroz oscilacije koje se mogu smatrati harmonijskim. , Samooscilacije

· kao i prinudne oscilacije, one su praćene uticajem spoljnih sila na oscilujući sistem, međutim, trenutke vremena kada se ti uticaji dešavaju postavlja sam oscilujući sistem. oscilacije nastaju kada se parametri oscilirajućeg sistema periodično mijenjaju (osoba koja se ljulja na ljuljašci povremeno podiže i spušta svoje težište, mijenjajući tako parametre sistema). Pod određenim uslovima sistem postaje nestabilan - nasumično odstupanje od ravnotežnog položaja dovodi do pojave i povećanja oscilacija.

Ova pojava se naziva parametarska pobuda oscilacija (tj. oscilacije se pobuđuju promjenom parametara sistema), a same oscilacije se nazivaju parametarskim. Unatoč njihovoj različitoj fizičkoj prirodi, vibracije karakteriziraju isti obrasci, koji se proučavaju općim metodama. Važna kinematička karakteristika je oblik vibracija. Određuje se tipom vremenske funkcije koja opisuje promjenu jedne ili druge fizičke veličine tokom oscilacija. Najvažnije fluktuacije su one kod kojih se fluktuirajuća količina mijenja tokom vremena. prema zakonu sinusa ili kosinusa harmonično .

. Oni se zovu Harmonične vibracije

nazivaju se oscilacije u kojima se oscilirajuća fizička veličina mijenja prema zakonu sinusa (ili kosinusa).

Ova vrsta oscilovanja je posebno važna iz sledećih razloga. Prvo, vibracije u prirodi i tehnologiji često imaju karakter vrlo blizak harmonijskom. Drugo, periodični procesi različitog oblika (sa različitom vremenskom zavisnošću) mogu se predstaviti kao superpozicija, ili superpozicija, harmonijskih oscilacija.

Harmonic Oscillator Equation

Harmonične oscilacije opisane su periodičnim zakonom:

Rice. 18.1. Harmonične oscilacije

Z
ovdje - karakteriše promijeniti A - bilo koja fizička veličina tokom oscilacija (pomak položaja klatna iz ravnotežnog položaja; napon na kondenzatoru u oscilatornom krugu, itd.), ,
- amplituda vibracije , - faza oscilovanja ,
- početna faza ciklička frekvencija
; veličina takođe pozvan vlastiti frekvencija vibracija. Ovaj naziv naglašava da je ova frekvencija određena parametrima oscilatornog sistema. Zove se sistem čiji zakon kretanja ima oblik (18.1). jednodimenzionalni harmonijski oscilator . Pored navedenih veličina, pojmovi o period

, tj. vrijeme jedne oscilacije. (Period oscilovanja T

naziva se najkraći vremenski period, nakon kojeg se stanja oscilirajućeg sistema ponavljaju (završava se jedna potpuna oscilacija) i faza oscilovanja dobija prirast od 2p). I
, koji određuje broj oscilacija u jedinici vremena. Jedinica frekvencije je frekvencija takve oscilacije, čiji je period 1 s. Ova jedinica se zove herca (Hz ).

Frekvencija oscilovanjan je recipročna vrednost perioda oscilovanja - broja kompletnih oscilacija izvršenih u jedinici vremena.

Amplituda- maksimalna vrijednost pomaka ili promjene varijable tokom oscilatornog ili talasnog kretanja.

Faza oscilovanja- argument periodične funkcije ili opis harmonijskog oscilatornog procesa (ω - kutna frekvencija, t- vrijeme, - početna faza oscilacija, odnosno faza oscilacija u početnom trenutku vremena t = 0).

Prvi i drugi vremenski izvod harmonijski oscilirajuće veličine također izvode harmonijske oscilacije iste frekvencije:

U ovom slučaju se kao osnova uzima jednačina harmonijskih oscilacija napisana prema kosinusnom zakonu. U ovom slučaju, prva jednačina (18.2) opisuje zakon prema kojem se mijenja brzina oscilirajuće materijalne tačke (tijela), druga jednačina opisuje zakon prema kojem se mijenja ubrzanje oscilirajuće tačke (tijela).

Amplitude
I
su jednake respektivno
I
. Oklevanje
naprijed
u fazi po ; i oklevanje
naprijed
on . Vrijednosti A I može se odrediti iz datih početnih uslova
I
:

,
. (18.3)

Energija oscilatora oscilatora

P

Rice. 18.2.

Opružno klatno Pogledajmo sada šta će se dogoditi . energija vibracija Kao primjer harmonijskih oscilacija, razmotrite jednodimenzionalne oscilacije koje izvodi tijelo mase m pod uticajem elastična
snagu (na primjer, opružno klatno, vidi sliku 18.2). Sile različite prirode od elastičnih, ali u kojima je zadovoljen uslov F = -kx, nazivaju se kvazielastična.

Pod uticajem ovih sila, tela vrše i harmonijske vibracije. neka:
pristrasnost:
brzina:

ubrzanje:
One. jednadžba takvih oscilacija ima oblik (18.1) sa prirodnom frekvencijom . Kvazielastična sila je . konzervativan Stoga ukupna energija takvih harmonijskih oscilacija mora ostati konstantna. Tokom procesa oscilacija, kinetička energija se pretvara E To Stoga ukupna energija takvih harmonijskih oscilacija mora ostati konstantna. Tokom procesa oscilacija, kinetička energija se pretvara u potencijal n

i obrnuto, a u trenucima najvećeg odstupanja od ravnotežnog položaja ukupna energija je jednaka maksimalnoj vrijednosti potencijalne energije, a kada sistem prođe kroz ravnotežni položaj, ukupna energija je jednaka maksimalnoj vrijednosti kinetičke energije. Hajde da saznamo kako se kinetička i potencijalna energija mijenjaju tokom vremena:

Kinetička energija:

(18.5)

Potencijalna energija:

Tako se ispostavlja da je ukupna energija harmonijske oscilacije konstantna. Iz relacija (18.4) i (18.5) također slijedi da su prosječne vrijednosti kinetičke i potencijalne energije jednake jedna drugoj i polovina ukupne energije, budući da su prosječne vrijednosti
I
po periodu su jednake 0,5. Koristeći trigonometrijske formule, možemo pronaći da se kinetička i potencijalna energija mijenjaju s frekvencijom
, tj. sa frekvencijom dvostruko većom od frekvencije harmonijskih vibracija.

Primjeri harmonijskog oscilatora uključuju opružna klatna, fizička klatna, matematička klatna i torzijska klatna.

1. Opružno klatno- ovo je opterećenje mase m, koje je okačeno na apsolutno elastičnu oprugu i vrši harmonijske oscilacije pod djelovanjem elastične sile F = –kx, gdje je k krutost opruge. Jednačina kretanja klatna ima oblik ili (18.8) Iz formule (18.8) proizilazi da opružno klatno vrši harmonijske oscilacije po zakonu x = Asos(ω 0 t+φ) sa cikličkom frekvencijom

(18.9) i tačka

(18.10) Formula (18.10) vrijedi za elastične vibracije u granicama u kojima je zadovoljen Hukov zakon, odnosno ako je masa opruge mala u odnosu na masu tijela. Potencijalna energija opružnog klatna, koristeći (18.9) i formulu potencijalne energije iz prethodnog odjeljka, jednaka je (vidi 18.5)

2. Fizičko klatno je čvrsto tijelo koje pod utjecajem gravitacije oscilira oko fiksne horizontalne ose koja prolazi kroz tačku O, koja se ne poklapa sa centrom mase C tijela (slika 1).

Slika 18.3 Fizičko klatno

Ako se klatno od ravnotežnog položaja odbije za određeni ugao α, tada se, koristeći jednadžbu dinamike rotacionog kretanja krutog tijela, određuje moment M povratne sile (18.11) gdje je J moment inercije klatno u odnosu na osu koja prolazi kroz tačku vešanja O, l je rastojanje između ose i centra mase klatna, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα je sila vraćanja (znak minus označava da su pravci F τ i α su uvijek suprotni sinα ≈ α jer se oscilacije klatna smatraju malim, tj. Zapisujemo jednačinu (18.11) kao

Ili Uzimajući (18.12) dobijamo jednačinu

Identično kao (18.8), čije će se rješenje naći i napisati kao:

(18.13) Iz formule (18.13) proizilazi da za male oscilacije fizičko klatno vrši harmonijske oscilacije sa cikličkom frekvencijom ω 0 i periodom

(18.14) gdje je vrijednost L=J/(m l) - . Tačka O" na nastavku prave OS, koja se nalazi na udaljenosti zadate dužine L od tačke O suspenzije klatna, naziva se zamahni centar fizičko klatno (slika 18.3). Primjenom Steinerove teoreme za moment inercije ose nalazimo

To jest, OO" je uvijek veći od OS. Tačka vješanja O klatna i centar zamaha O" imaju svojstvo zamjenjivosti: ako se tačka vešanja pomeri u centar zamaha, tada će prethodna tačka vešanja O biti novi centar zamaha, a period oscilovanja fizičkog klatna se neće promeniti.

3. Matematičko klatno je idealizovani sistem koji se sastoji od materijalne tačke mase m, koja je okačena na nerastezljivu bestežinsku nit, i koja osciluje pod uticajem gravitacije. Dobra aproksimacija matematičkog klatna je mala teška lopta koja je okačena na dugačku tanku nit. Moment inercije matematičkog klatna

(8) gdje l- dužina klatna.

Budući da je matematičko klatno poseban slučaj fizičkog klatna, ako pretpostavimo da je sva njegova masa koncentrisana u jednoj tački - centru mase, onda, zamjenom (8) u (7), nalazimo izraz za period malih oscilacija matematičkog klatna (18.15) Upoređujući formule (18.13 ) i (18.15), vidimo da ako je smanjena dužina L fizičkog klatna jednaka dužini l matematičkog klatna, onda su periodi oscilovanja ovih klatna isti. znači, smanjena dužina fizičkog klatna- ovo je dužina matematičkog klatna čiji se period oscilovanja poklapa sa periodom oscilovanja datog fizičkog klatna. Za matematičko klatno (materijalna tačka sa masom Kao primjer harmonijskih oscilacija, razmotrite jednodimenzionalne oscilacije koje izvodi tijelo mase, okačen na bestežinski nerastegljivi konac dužine l u gravitacionom polju sa ubrzanjem slobodnog pada jednakim g) pri malim uglovima odstupanja (koji ne prelaze 5-10 ugaonih stepeni) od ravnotežnog položaja, prirodna frekvencija oscilacija:
.

4. Telo okačeno na elastični konac ili drugi elastični element, koje osciluje u horizontalnoj ravni, je torzijsko klatno.

Ovo je mehanički oscilatorni sistem koji koristi sile elastične deformacije. Na sl. Slika 18.4 prikazuje ugaoni analog linearnog harmonijskog oscilatora koji izvodi torzijske oscilacije. Horizontalno postavljen disk visi na elastičnom navoju pričvršćenom za njegovo središte mase. Kada se disk rotira za ugao θ, javlja se moment sile M kontrola elastične torzijske deformacije:

Gdje I = IC je moment inercije diska u odnosu na osu, koja prolazi kroz centar mase, ε je kutno ubrzanje.

Po analogiji s opterećenjem na oprugu, možete dobiti.

Mehanička harmonijska oscilacija- ovo je pravolinijsko neravnomjerno kretanje u kojem se koordinate oscilirajućeg tijela (materijalne tačke) mijenjaju prema zakonu kosinusa ili sinusa ovisno o vremenu.

Prema ovoj definiciji, zakon promjene koordinata u zavisnosti od vremena ima oblik:

gdje je wt količina ispod predznaka kosinusa ili sinusa; w- koeficijent čije će fizičko značenje biti otkriveno u nastavku; A je amplituda mehaničkih harmonijskih vibracija.

Jednačine (4.1) su osnovne kinematičke jednačine mehaničkih harmonijskih vibracija.

Razmotrite sljedeći primjer. Uzmimo os Ox (slika 64). Iz tačke 0 nacrtamo kružnicu poluprečnika R = A. Neka tačka M sa pozicije 1 počne da se kreće po kružnici konstantnom brzinom v(ili sa konstantnom ugaonom brzinom w, v = wA). Nakon nekog vremena t radijus će se rotirati za ugao f: f=tež.

Sa takvim kružnim kretanjem tačke M, njena projekcija na x osu M x će se kretati duž x ose, čija će koordinata x biti jednaka x = A cos f = = A cos wt. Dakle, ako se materijalna točka kreće duž kružnice polumjera A, čije se središte poklapa s ishodištem koordinata, tada će projekcija ove točke na osu x (i na osu y) izvoditi harmonijske mehaničke vibracije.

Ako su poznata vrijednost wt, koja je pod kosinusnim predznakom, i amplituda A, onda se x može odrediti i u jednačini (4.1).

Količina wt, koja stoji ispod kosinusnog (ili sinusnog) predznaka, koja jedinstveno određuje koordinate oscilirajuće tačke u datoj amplitudi, naziva se faza oscilovanja. Za tačku M koja se kreće u krugu, vrijednost w znači njenu ugaonu brzinu. Koje je fizičko značenje vrijednosti w za tačku M x koja vrši mehaničke harmonijske oscilacije? Koordinate oscilirajuće tačke M x su iste u nekom trenutku u vremenu t i (T +1) (iz definicije perioda T), tj. A cos wt = A cos w (t + T), što znači da w(t + T) - wt = 2 PI(iz svojstva periodičnosti kosinusne funkcije). Iz toga slijedi

Prema tome, za materijalnu tačku koja vrši harmonijske mehaničke oscilacije, vrijednost w može se tumačiti kao broj oscilacija za određenu ciklus vreme jednako 2l. Stoga vrijednost w imenovani ciklično(ili kružna) frekvencija.

Ako tačka M počinje svoje kretanje ne od tačke 1, već od tačke 2, tada će jednačina (4.1) poprimiti oblik:

Veličina f 0 pozvao početna faza.

Brzinu tačke M x nalazimo kao derivaciju koordinate u odnosu na vrijeme:

Definiramo ubrzanje tačke koja oscilira prema harmonijskom zakonu kao derivaciju brzine:

Iz formule (4.4) je jasno da se i brzina tačke koja vrši harmonijske oscilacije mijenja prema kosinusnom zakonu. Ali fazna brzina je ispred koordinata za PI/2 u potencijal.

Ubrzanje tokom harmonijske oscilacije varira prema kosinusnom zakonu, ali je ispred koordinata u fazi za

.

Jednačina (4.5) se može napisati u terminima x koordinata:

Ubrzanje pri harmonijskim vibracijama je proporcionalno pomaku suprotnog predznaka. Pomnožimo desnu i lijevu stranu jednačine (4.5) sa masom oscilirajuće materijalne tačke m, dobićemo sljedeće odnose: Prema drugom Newtonovom zakonu, fizičko značenje desne strane izraza (4.6) je projekcija sile Fx, koja obezbjeđuje harmonično mehaničko kretanje:.

Vrijednost Fx je proporcionalna pomaku x i usmjerena je suprotno od njega. Primjer takve sile je elastična sila, čija je veličina proporcionalna deformaciji i usmjerena suprotno od nje (Hookeov zakon).

Obrazac ubrzanja u odnosu na pomak, koji slijedi iz jednadžbe (4.6), koju smo razmatrali za mehaničke harmonijske oscilacije, može se generalizirati i primijeniti kada se razmatraju oscilacije različite fizičke prirode (na primjer, promjena struje u oscilatornom krugu, a promjena naboja, napona, indukcije magnetnog polja, itd.). Stoga se jednačina (4.8) naziva glavna jednačina

harmonska dinamika

Razmotrimo kretanje opruge i matematičkog klatna.

Neka je opruga (sl. 63), koja se nalazi horizontalno i fiksirana u tački 0, jednim krajem pričvršćena za tijelo mase m, koje se može kretati po x osi bez trenja.

Neka je koeficijent krutosti opruge jednak k. Uklonimo tijelo m vanjskom silom iz ravnotežnog položaja i pustimo ga. Tada će duž ose x na tijelo djelovati samo elastična sila, koja će, prema Hookeovom zakonu, biti jednaka: F ypp = -kx.

Jednačina kretanja ovog tijela imat će oblik: A iz ravnotežnog položaja, tada na tijelo djeluju iste sile, ali više ne uravnotežuju jedna drugu i tijelo se počinje kretati po luku pod utjecajem komponente gravitacije usmjerene duž tangente na luk i jednake mg sin a.

Jednačina kretanja klatna ima oblik:

Znak minus na desnoj strani znači da je sila F x = mg sin a usmjerena protiv pomaka. Harmonične oscilacije će se pojaviti pri malim uglovima otklona, ​​tj a 2* grijeh a.

Zamenimo greh i u jednacinom (4.12), dobijamo sledecu jednacinu.